Question

9．如圖1所示，載流導(dǎo)體薄板處在垂直于電流方向的磁場中時，在垂直于電流和磁場的方向上會產(chǎn)生電勢差，稱為霍爾電壓U_H，這種現(xiàn)象稱為霍爾效應(yīng)．設(shè)圖1中通過導(dǎo)體的電流為I_s，垂直于薄板表面的磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，自由電荷電荷量為q，單位體積內(nèi)自由電荷的數(shù)量為n，薄板的厚度為d，寬度為b
（1）選用上述各量表示霍爾電壓U_H的值；
（2）技術(shù)上應(yīng)用霍爾效應(yīng)可以測量未知磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度，這樣的儀器叫做磁強(qiáng)計．
a．請在上問的基礎(chǔ)上從原理上說明如何利用霍爾效應(yīng)測量磁感應(yīng)強(qiáng)度？
b．當(dāng)待測磁場發(fā)生一很小變化時，測量儀器顯示的值變化越大，就稱其越靈敏．簡要說明如何提高上述測量的靈敏程度？

（3）在一個很小的半導(dǎo)體薄片上，制作四個電極，就成了一個霍爾元件，圖2所示的就是一種霍爾元件，將其與電壓放大電路等輔助裝置連接起來，就可以測量磁場的分布情況．當(dāng)霍爾元件垂直軸線置于圖3所示通電螺線管的正中央位置時，測得霍爾電壓U_H=72.0mV．已知正中央位置的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=2.4mT，圖4為根據(jù)沿軸線逐點測量的實驗結(jié)果繪制的圖線，在靠近軸線的區(qū)域各處的磁感應(yīng)強(qiáng)度都和軸線處相差不多．
技術(shù)上還常用測量通過小線圈的電荷量的方法探測磁場．若有匝數(shù)N=10，直徑D=1cm，電阻R=1Ω的圓形線圈與可顯示通過其電荷量的儀器相連，把它放在軸線上x=15cm處，然后急速地把它移到磁場外面，運動過程中保持線圈平面與軸線垂直，計算此過程通過它的電荷量．（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）

Answer 1

分析 當(dāng)電場力與洛侖茲力平衡時薄板左右兩側(cè)間形成穩(wěn)定的霍爾電壓U_H，根據(jù)受力平衡列方程求解；
根據(jù)霍爾電壓的表達(dá)式提出待測磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的方法；
過線圈橫截面的電荷量 $q=\bar I△t=N\frac{△Φ}{△t}•\frac{△t}{R}=N\frac{△Φ}{R}=\frac{{NBπ{D^2}}}{4R}$

解答 解：（1）載流導(dǎo)體薄板中通有恒定電流I_s時，設(shè)薄板中自由電荷做定向運動的速度設(shè)為v，則I_s=nqvbd
載流導(dǎo)體薄板在磁場中，自由電荷做定向運動，受洛侖茲力作用，在左右兩側(cè)分別聚集正負(fù)電荷，薄板內(nèi)形成電場，當(dāng)電場力與洛侖茲力平衡時薄板左右兩側(cè)間形成穩(wěn)定的霍爾電壓U_H，此時有：$qvB=q\frac{U_H}$；
整理得：${U_H}=\frac{{B{I_s}}}{nqd}$
（2）a．當(dāng)載流導(dǎo)體垂直置于待測磁場中時，由${U_H}=\frac{{B{I_s}}}{nqd}$知，保證通過導(dǎo)體的電流I_s一定時，霍爾電壓U_H與磁感應(yīng)強(qiáng)度B成正比，事先通過理論及實驗的方法測定U_H與B的比值，即可通過測量U_H來確定待測磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B；
b．提高$\frac{I_s}{nqd}$的值，可以使測量磁場的靈敏程度提高．
（3）霍爾元件垂直軸線置于螺線管正中央位置時，霍爾電壓U_H=72.0mV，已知此處B=2.4mT，求得U_H與B的對應(yīng)關(guān)系為：U_H=30B
由圖3知：當(dāng)把小線圈放在軸線上x=15cm處時，U_H=70.0mV，可求得對應(yīng)位置B=$\frac{7}{3}$mT
小線圈從x=15cm處迅速移出磁場的過程中，線圈中的平均電動勢$\overline{E}=N\frac{△Φ}{△t}$
平均電流$\overline{I}=\frac{\bar E}{R}=N\frac{△Φ}{△t}•\frac{1}{R}$
通過線圈橫截面的電荷量  $q=\bar I△t=N\frac{△Φ}{△t}•\frac{△t}{R}=N\frac{△Φ}{R}=\frac{{NBπ{D^2}}}{4R}$=1.8×10^-6C
答：（1）選用上述各量表示霍爾電壓U_H的值為${U_H}=\frac{{B{I_s}}}{nqd}$；
（2）可通過測量U_H來確定待測磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B；
提高$\frac{I_s}{nqd}$的值，可以使測量磁場的靈敏程度提高．
（3）通過線圈橫截面的電荷量1.8×10^-6C．

點評 解決本題的關(guān)鍵掌握電流的微觀表達(dá)式，以及知道穩(wěn)定時電子所受的電場力和洛倫茲力平衡．