Question

18．在離水平地面高度為H處有一小球A，在A的右邊，與它的水平距離為s處的地面上，有另一小球B，如圖所示，現(xiàn)同時把兩球拋出，A沿水平方向向右，拋出時的初速度為v_A，B豎直向上，拋出時間的初速度為v_B，設(shè)H、s是已知的．問：
（1）要想使兩球空中相碰，v_A、v_B各應滿足什么條件？
（2）若從拋出到相碰所經(jīng)歷的時間為最長，則B球運動的路程是多少？

Answer 1

分析 （1）在A球水平分位移為s時刻，B球不能落回拋出點；兩個球豎直方向的分位移之和等于H；
（2）在B球拋出點相碰，經(jīng)歷的時間是最長的，根據(jù)平拋運動的分位移公式列式求解即可．

解答 解：（1）設(shè)A球從拋出至落地的時間為t₁，則：
H=$\frac{1}{2}g{t}_{1}^{2}$        ①
在t₁時間內(nèi)，A球在水平方向運動的路程不能小于s，否則不可能與B球相碰，故有：
v_At₁≥s        ②
由①、②兩式得v_A應滿足的條件：
v_A≥s$\sqrt{\frac{g}{2H}}$　　�、�
拋出后經(jīng)時間t，B球上升到離地面的高度為h_B處，則：
h_B=v_Bt-$\frac{1}{2}g{t}_{1}^{2}$�、�
這時A球離地面的高度h_A為：
h_A=H-$\frac{1}{2}g{t}^{2}$  �、�
若B球在運動過程中與A球相碰，則應滿足：
h_A=h_B       ⑥
s=v_At        ⑦
由④、⑤、⑥式可得：
H=v_Bt        ⑧
聯(lián)立⑦、⑧兩式得：
v_B=$\frac{H}{S}{v}_{A}$≥$\sqrt{\frac{1}{2}gH}$ ⑨
故③式和⑨式即為使兩球空中相碰，v_A、v_B各應滿足的條件；
（2）如果要使B球在拋出后經(jīng)過較長的時間才相碰，由⑧式知t=$\frac{H}{{v}_{B}}$，即v_B要較小，但碰撞必須發(fā)生在A球落地之前，故經(jīng)歷最長的時間即為A球從拋出至落地的時間t₁，由①式和⑧式可得出，v_B的最小值為：
v_B=$\frac{H}{{t}_{1}}$≥$\sqrt{\frac{1}{2}gH}$　   
B球上升的最大高度為：
h_m=$\frac{{v}_{B}^{2}}{2g}$=$\frac{1}{4}H$
則B球從拋出到碰撞時刻經(jīng)過的總路程為：
s_B=2h_m=$\frac{1}{2}H$
答：（1）要想使兩球空中相碰，需要滿足v_A≥s$\sqrt{\frac{g}{2H}}$和v_B=$\frac{H}{S}{v}_{A}$≥$\sqrt{\frac{1}{2}gH}$；
（2）若從拋出到相碰所經(jīng)歷的時間為最長，則B球運動的路程是$\frac{H}{2}$．

點評 解決本題的關(guān)鍵知道平拋運動在水平方向和豎直方向上的運動規(guī)律，抓住豎直位移大小之和等于H，以及時間相等兩個條件進行求解．