Question

19．如圖所示裝置的左半部分為速度選擇器，相距為d的兩塊平行金屬板分別連在電壓可調(diào)的電源兩極上（上板接正極），板間存在方向垂直紙面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₀的勻強(qiáng)磁場；右半部分為一半徑為R的半圓形磁場區(qū)域，內(nèi)有垂直紙面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場．矩形abcd相切于半圓，小孔M、N連線延長線經(jīng)過圓心O點(diǎn)且與ad垂直．一束質(zhì)量為m、帶電量為+q的離子（不計(jì)重力）以不同速率沿MN方向從M孔射入．
（1）金屬板間電壓為U₀時(shí)，求從N孔射出的離子的速度大�。�
（2）要使離子能打到ab上，求金屬板間電壓U的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）正離子沿平行于金屬板垂直磁場射入兩板間做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，洛倫茲力與電場力平衡，由平衡條件$Bqv=\frac{u}2wsfxasq$可求出離子在平行金屬板間的運(yùn)動(dòng)速度．
（2）帶電粒子進(jìn)入矩形abcd區(qū)域做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，據(jù)題意找到粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，由幾何關(guān)系可求出圓周運(yùn)動(dòng)的半徑．在磁場中由洛倫茲力提供向心力，可求出u的取值．

解答 解：（1）金屬板間電壓為U₀時(shí)，從N孔射出的離子軌跡為直線，洛倫茲力與電場力平衡，
由平衡條件：${B}_{0}qv=\frac{{U}_{0}}gdkc2p8q$
解得：$v=\frac{{U}_{0}}{{B}_{0}d}$
（2）如圖1，設(shè)電壓為U₁時(shí)，粒子恰好打在b點(diǎn)，粒子軌跡半徑為r₁，
由幾何關(guān)系得：r₁=R，由（1）可知：${v}_{1}=\frac{{U}_{1}}{{B}_{0}d}$
洛倫茲力提供粒子的向心力：
$Bq{v}_{1}=m\frac{{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}}$，
解得：${U}_{1}=\frac{RdqB{B}_{0}}{m}$
如圖2，設(shè)電壓為U₂時(shí)，粒子恰好打在a點(diǎn)，粒子軌跡半徑為r₂，
由幾何關(guān)系得：r₂+$\frac{{r}_{2}}{sin45°}$=R，解得：${r}_{2}=（\sqrt{2}-1）R$
由（1）可知：${v}_{2}=\frac{{U}_{2}}{{B}_{0}d}$
洛倫茲力提供粒子的向心力：
$Bq{v}_{2}=m\frac{{v}_{2}^{2}}{{r}_{2}}$，
解得：${U}_{2}=\frac{（\sqrt{2}-1）RdqB{B}_{0}}{m}$
答：（1）從N孔射出的離子的速度大小為：$\frac{{U}_{0}}{{B}_{0}d}$；
（2）要使離子能打到ab上，金屬板間電壓U的取值范圍為：$\frac{RdqB{B}_{0}}{m}≥U≥\frac{（\sqrt{2}-1）RdqB{B}_{0}}{m}$．

點(diǎn)評(píng) 本題中離子在復(fù)合場中運(yùn)動(dòng)的問題是速度選擇器的模型，要比較熟悉．在磁場中畫軌跡，由幾何知識(shí)求解半徑、由圓心角確定時(shí)間都是常規(guī)思路．