Question

16．如圖所示，正方形ABCD是擱在空中的一根水平放置的橫梁的截面圖，邊長a=1.5m，質量m=1kg可看作質點的小球用一根長為l=1.6m的細線懸掛在棱A下，已知細線的最大拉力為300N，現(xiàn)瞬時間給小球一個水平?jīng)_力，使小球瞬時獲得向左的水平速度v=12m/s，小球開始繞A在豎直平面內運動，最后小球落在BC面上，取g=10m/s²，求：
（1）開始瞬間繩子對小球的拉力是多大？
（2）小球的落點距棱B多遠？

Answer 1

分析 （1）在開始的瞬間，對小球進行受力分析，合力提供向心力，由此即可求得此時繩子的拉力．
（2）首先通過機械能守恒求得小球運動到最高時的速度，判斷出繩子與B點接觸時繩子會斷裂，小球開始做平拋運動，由平拋運動的知識即可得知小球的落點距棱B的距離．

解答 解：（1）在開始的瞬間，對小球受力分析，受重力和繩子的拉力，合力提供向心力，有：
T-mg=m$\frac{{v}^{2}}{l}$
代入數(shù)據(jù)解得：T=100N
（2）假設繩子不會斷，小球并能運動到最高點，整個過程機械能守恒，設在最高點的速度為v₁，小球初始位置所在的平面為零勢能面，則有：
$\frac{1}{2}$mv²=mg×2l+$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：v₁=4$\sqrt{5}$m/s
達到最高點時，應以B為圓心做勻速圓周運動，繩子應承受的拉力為T′，有：T′+mg=$m\frac{{v}_{1}^{2}}{l-a}$
代入數(shù)據(jù)得：T′=790N，已經(jīng)超過繩子能承受的最大拉力，所以繩子此時會斷，小球開始做平拋運動，
在豎直方向有：l-a=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$…①
在水平方向有：s=v₁t…②
聯(lián)立①②兩式并代入數(shù)據(jù)得：s=1.256m
答：（1）開始瞬間繩子對小球的拉力是100N．
（2）小球的落點距棱B1.256m

點評 該題考查到了機械能守恒，平拋運動及向心力的相關問題．解題時首先要明確機械能守恒的條件，系統(tǒng)內只有重力和彈力做功時機械能守恒．對于圓周運動，向心力的計算是重點，沿半徑方向上的所有力的合力提供向心力，平時要熟記公式F_向=ma=$m\frac{{v}^{2}}{R}$=mω²R=$m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}R$=m4π²f²R，根據(jù)題干所給的條件選擇合適的式子列式求解．