Question

4．A、B兩球，A從距地面高度為h處自由下落，同時(shí)將B球從地面以初速v₀豎直上拋，兩球沿同一豎直線運(yùn)動(dòng)，若重力加速度為g（不考慮碰地反彈）．試求以下兩種情況下，B球初速度v₀的取值范圍：
（1）B球在上升過(guò)程中與A球相遇；
（2）B球在下落過(guò)程中與A球相遇．

Answer 1

分析 自由落體的位移大小與豎直上拋位移的大小之和等于總高度h，再分別討論豎直上拋的小球是處在上升階段還是下降階段．

解答 解：A球做自由落體運(yùn)動(dòng)，下落高度h₁，所用時(shí)間t₁
得：h₁=$\frac{1}{2}$gt${\;}_{1}^{2}$           ①
B球做豎直上拋運(yùn)動(dòng)（全過(guò)程），上升高度h₂，時(shí)間t₂，t₂=t₁=t
得：h₂=$\frac{1}{2}$gt${\;}_{2}^{2}$          ②
又因：h₁+h₂=h         ③
由①②③解得：t=$\frac{h}{{v}_{0}}$
（1）設(shè)B球上升到最大高度時(shí)，與球A相遇，
B球上升到最大高度時(shí)間為$\frac{{v}_{0}}{g}$．由此可知，要使AB在B球上升過(guò)程中與A相遇，
只要$\frac{{v}_{0}}{g}$≥t即可
解得：v₀≥$\sqrt{gh}$      
滿足此條件B球就會(huì)在上升時(shí)與A球相遇
（2）B球落地時(shí)間$\frac{2{v}_{0}}{g}$，如果相遇時(shí)間t=$\frac{h}{{v}_{0}}$等于B球落地時(shí)間，A球剛好在B球落地時(shí)追上B球．
即：$\frac{2{v}_{0}}{g}$=$\frac{h}{{v}_{0}}$
解得：v₀=$\sqrt{\frac{gh}{2}}$
次條件是AB還能相遇的最小速度，所以要滿足在下落中相遇，
需滿足$\sqrt{\frac{gh}{2}}$＜v₀＜$\sqrt{gh}$
答：（1）B球在上升過(guò)程中與A球相遇要滿足v₀≥$\sqrt{gh}$；
（2）B球在下落過(guò)程中與A球相遇要滿足$\sqrt{\frac{gh}{2}}$＜v₀＜$\sqrt{gh}$．

點(diǎn)評(píng) 自由落體與豎直上拋相結(jié)合，要注意上拋的小球是出在上升階段還是下降階段，題目較難．