Question

13．如圖所示，為一豎直放置的半徑為R的圓形軌道，該軌道的$\frac{3}{4}$圓ABCD部分光滑，左邊$\frac{1}{4}$圓DA部分粗糙．現(xiàn)將一質(zhì)量為m的小球置于最低點A，然后給小球一個水平向右的初速度，小球沿圓軌道運動并干剛好能到達最高點C，小球通過最高點C后沿CDA軌道回到A點，到達A點時對軌道的壓力為5mg，g為重力加速度．求：
（1）小球在A點初速度v₀的大��；
（2）小球經(jīng)過D點時，軌道對小球的支持力大�。�
（3）小球經(jīng)過DA段克服摩擦力所做的功．

Answer 1

分析 （1）小球沿軌道恰好運動到最高點C，則在C點，由重力提供向心力，由牛頓第二定律求得C點的速度，再由機械能守恒定律可以求出在A點時的初速度v₀．
（2）由機械能守恒定律求小球經(jīng)過D點時的速度．在D點，由軌道的支持力提供向心力，由牛頓第二定律求軌道對小球的支持力大�。�
（3）小球回到A點時，由牛頓第二定律可以求出到達A點的速度．小球由D回到A點過程，應(yīng)用動能定理可以求出克服摩擦力的功．

解答 解：（1）小球到達最高點C時，由重力提供向心力，則有
   mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$          
小球由A運動到最高點C過程中，由機械能守恒定律有：（取A點為參考點）
    $\frac{1}{2}$mv₀²=mg•2R+$\frac{1}{2}$mv_C²
解得：v₀=$\sqrt{5gR}$                  
（2）設(shè)小球到達D點時速度為v_D，從C到D的過程，由機械能守恒定律有
   $\frac{1}{2}$mv_C²+mgR=$\frac{1}{2}$mv_D²
在D點，由牛頓第二定律有
    F_ND=m$\frac{{{v}_{D}}^{2}}{R}$                
解得：F_ND=3mg               
（3）設(shè)小球經(jīng)過DA段克服摩擦力所做的功為W_f，回到A點時速度為v_A．
回到A點時，有
    F_NA-mg=m$\frac{{{v}_{A}}^{2}}{R}$              
從D到A的過程，由動能定理有
   mgR-W_f=$\frac{1}{2}$mv_A²-$\frac{1}{2}$mv_D²
解得：W_f=$\frac{1}{2}$mgR              
答：
（1）小球在A點初速度v₀的大小是$\sqrt{5gR}$；
（2）小球經(jīng)過D點時，軌道對小球的支持力大小是3mg；
（3）小球經(jīng)過DA段克服摩擦力所做的功是$\frac{1}{2}$mgR．

點評 該題為圓周運動和機械能的綜合，要知道小球做圓周運動時，由法向合力提供向心力，小球到達最高點C的臨界條件是重力等于向心力．