Question

如圖所示，兩根相距為 d 的足夠長(zhǎng)的平行光滑金屬導(dǎo)軌位于水平的 xy 平面內(nèi)，一端接有阻值為R 的電阻。在 X > 0 的一側(cè)存在垂直紙面向里的磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨X 的增大而增大，B = kx，式中k 是一常量。一質(zhì)量為 m 的金屬直桿與金屬導(dǎo)軌垂直，可在導(dǎo)軌上滑動(dòng)，當(dāng)t = 0 時(shí)位于 x = 0處，速度為 v ₀ ，方向沿 x 軸的方向。在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，有一大小可調(diào)節(jié)方向始終不變的外力F作用于金屬桿的加速度恒定，大小為a ，方向沿x 軸的負(fù)方向。當(dāng)金屬桿的速度大小為 v ₀ / 2時(shí)，求所加外力的大小。設(shè)金屬導(dǎo)軌與桿的電阻不計(jì)。

Answer 1

以 x₁ 表示金屬桿的速度變?yōu)?V₁ = V₀ / 2時(shí)它所在的x 坐標(biāo)，對(duì)于勻減速直線運(yùn)動(dòng)有：V₁² = V₂⁰ - 2 a x₁ (1)以V₁ = V₀ / 2 代入得：x₁ = 3V₀² / 8a (2)由題給條件得出此時(shí)金屬桿所在處的磁感應(yīng)強(qiáng)度：B₁ = 3RV₀² / 8a (3)此時(shí)金屬桿產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：ε₁ = B₁ V₁ d = 3kV₀³ d / 16a (4)回路中電流為 I =ε₁ / R = 3kV₀³ d / 16aR (5)金屬桿受到的安培力為：f = B₁ Id = 9k²V₀⁵ d ²/ 128 a² R (6) 由題意知，F(xiàn)方向始終向x 軸負(fù)方向，當(dāng)金屬桿向 x 正方向運(yùn)動(dòng)時(shí)有：F₁ +f = ma (7)得 F₁ = ma - 9k²V₀⁵ d ²/ 128 a² R (8)當(dāng)金屬桿向x 負(fù)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)有F₂ - f = ma (9)得： F₂ = ma + 9k²V₀⁵ d ²/ 128 a² R (10)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：(8)和(10) 各1分，其余每式2分