Question

如圖（a）所示，兩根足夠長(zhǎng)的光滑平行金屬導(dǎo)軌相距為l，導(dǎo)軌平面與水平面成θ角，下端通過(guò)導(dǎo)線(xiàn)連接的電阻為R．質(zhì)量為m、阻值為r的金屬棒ab放在兩導(dǎo)軌上，棒與導(dǎo)軌垂直并始終保持良好接觸，整個(gè)裝置處于垂直導(dǎo)軌平面向上的磁場(chǎng)中．
（1）若金屬棒距導(dǎo)軌下端距離為d，磁場(chǎng)隨時(shí)間變化的規(guī)律如圖（b）所示，為保持金屬棒靜止，求加在金屬棒中央、沿斜面方向的外力隨時(shí)間變化的關(guān)系．
（2）若所加磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小恒為B′，通過(guò)額定功率P_m的小電動(dòng)機(jī)對(duì)金屬棒施加沿斜面向上的牽引力，使其從靜止開(kāi)始沿導(dǎo)軌做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)時(shí)間t₁電動(dòng)機(jī)達(dá)到額定功率，此后電動(dòng)機(jī)功率保持不變．金屬棒運(yùn)動(dòng)的v-t圖象如圖（c）所示．求磁感應(yīng)強(qiáng)度B′的大�。�
（3）若金屬棒處在某磁感應(yīng)強(qiáng)度大小恒定的磁場(chǎng)中，運(yùn)動(dòng)達(dá)到穩(wěn)定后的速度為v，在D位置（未標(biāo)出）處突然撤去拉力，經(jīng)過(guò)時(shí)間t₂棒到達(dá)最高點(diǎn)，然后沿軌道返回，在達(dá)到D位置前已經(jīng)做勻速運(yùn)動(dòng)，其速度大小為

1

5

v，求棒在撤去拉力后所能上升的最大高度．

Answer 1

（1）金屬棒沿斜面方向受力平衡，外力應(yīng)沿斜面向上，設(shè)其大小為F₁，則  
   F₁-mgsinθ-B₁Il=0
由圖（b）可知，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小與t關(guān)系為B₁=2t
回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)  E=

△?

△t

=

△B?S

△t

，S=l?d，
此時(shí)回路中的感應(yīng)電流  I=

E

R+r

得 F1=mgsinθ+B1

2?l?d

R+r

l=mgsinθ+4

l2d

R+r

t
（2）由圖（c）可知，金屬棒運(yùn)動(dòng)的最大速度為v₀，此時(shí)金屬棒所受合力為零．
設(shè)金屬棒此時(shí)所受拉力大小為F₂，流過(guò)棒中的電流為I_m，則  F2-mgsinθ-B′Iml=0
 E_m=B?lv₀
 P_m=F₂?v_m   
得 

Pm

v0

-mgsinθ-B′

B′lv0

R+r

l=0
解得  B′=

1

l

( Pm v 20 - mgsinθ v0 )(R+r)

（3）設(shè)磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，棒沿斜面向上運(yùn)動(dòng)時(shí)，mgsinθ+BIl=ma得
  a=gsinθ+

B2l2vt

m(R+r)

取極短時(shí)間△t，速度微小變化為△v，△v=a△t，△s=v△t
得 △v=gsinθ△t+

B2l2v△t

m(R+r)

在上升的全過(guò)程中，∑△v=gsinθ∑△t+

B2l2∑△s

m(R+r)

即0-v=-[t2gsinθ+

B2l2s

m(R+r)

]
又下滑到勻速時(shí)有  mgsinθ-

B2l2v

5(R+r)

=0
由上兩式得s=

v2

5gsinθ

-

vt2

5

上升的高度H=s?sinθ=

v2-vgt2sinθ

5g

答：
（1）加在金屬棒中央、沿斜面方向的外力隨時(shí)間變化的關(guān)系是F₁=mgsinθ+4

l2d

R+r

t；
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度B′的大小為

1

l

( Pm v 20 - mgsinθ v0 )(R+r)

；
（3）棒在撤去拉力后所能上升的最大高度是

v2-vgt2sinθ

5g

．