Question

11．如圖所示，一根不可伸長(zhǎng)的輕繩長(zhǎng)為L(zhǎng)，一端固定于O點(diǎn)，另一端系一質(zhì)量m的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）．將繩拉直后，從與O點(diǎn)等高的A點(diǎn)由釋放小球，小球在豎直平面內(nèi)沿圓弧運(yùn)動(dòng)，通過(guò)最低點(diǎn)B后立即受到一水平向左的恒力F的作用，到達(dá)與O點(diǎn)等高的C點(diǎn)時(shí)立即撤去F．空氣阻力忽略不計(jì)．
（1）求小球剛到B點(diǎn)時(shí)，繩子對(duì)它拉力T的大小；
（2）為使小球能夠沿圓周運(yùn)動(dòng)通過(guò)最高點(diǎn)D，求小球從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過(guò)程中所加水平恒力的最小值F₀；
（3）改變恒力F的大小，小球在BC間運(yùn)動(dòng)的最大速度v以及達(dá)到最大速度時(shí)小球的位置P（圖中未標(biāo)出）均發(fā)生改變，設(shè)O、P兩點(diǎn)的連線與OB的夾角為θ，試推導(dǎo)出v與θ的關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出小球剛到B點(diǎn)時(shí)的速度，再由牛頓第二定律求拉力T．
（2）小球恰好能夠沿圓周運(yùn)動(dòng)通過(guò)最高點(diǎn)D時(shí)，由重力提供向心力，由牛頓第二定律求出小球通過(guò)D點(diǎn)的最小速度，再由動(dòng)能定理求水平恒力的最小值F₀．
（3）當(dāng)F與重力mg的合力通過(guò)O點(diǎn)時(shí)速度最大，由幾何關(guān)系和動(dòng)能定理結(jié)合解答即可．

解答 解：（1）小球從A到B的過(guò)程，由機(jī)械能守恒定律得：
  $\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$=mgL
在B點(diǎn)，由牛頓第二定律得 T-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{L}$
聯(lián)立解得 T=3mg
（2）小球恰好能夠沿圓周運(yùn)動(dòng)通過(guò)最高點(diǎn)D時(shí)，由重力提供向心力，由牛頓第二定律得
   mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{L}$
小球從A到D過(guò)程，由動(dòng)能定理得
  F₀L-mgL=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
聯(lián)立解得  F₀=1.5mg
（3）與重力場(chǎng)類比，可得F與mg的合力為 F′=$\sqrt{{F}^{2}+（mg）^{2}}$
當(dāng)F′通過(guò)圓心O時(shí)小球的速度最大，此時(shí)有 tanθ=$\frac{F}{mg}$
從A到速度最大位置的過(guò)程，由動(dòng)能定理得
  mgLcosθ+FLsinθ=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
聯(lián)立解得 v=$\sqrt{\frac{2gL}{cosθ}}$
答：
（1）小球剛到B點(diǎn)時(shí)，繩子對(duì)它拉力T的大小是3mg．
（2）小球從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過(guò)程中所加水平恒力的最小值F₀是1.5mg．
（3）v與θ的關(guān)系式是v=$\sqrt{\frac{2gL}{cosθ}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道小球做圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來(lái)源，知道“繩模型”最高點(diǎn)的臨界情況，結(jié)合牛頓第二定律和動(dòng)能定理結(jié)合進(jìn)行分析．