Question

18．如圖所示，光滑的水平軌道AB，與半徑為R的光滑的半圓形軌道相切于B點，其中圓軌道在豎直平面內，B為最低點，D為最高點．為使一質量為m的小球以初速度V₀沿AB運動，恰能通過最高點，則（　�。�

• A． R越大，V₀越大
• B． R越大，小球經過B點后瞬間對軌道的壓力越大
• C． m越大，V₀越大
• D． m與R同時增大，初動能E_k0增大

Answer 1

分析 小球恰能通過最高點時，由重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出小球經最高點時的速度，根據(jù)機械能守恒求出初速度v₀與半徑R的關系．小球經過B點后的瞬間由重力和軌道的支持力的合力提供向心力，由牛頓運動定律研究小球對軌道的壓力與半徑的關系．根據(jù)機械能守恒列式研究初動能與m、R的關系．

解答 解：
AC、小球恰能通過最高點時，由重力提供向心力，則有：mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$，v_D=$\sqrt{gR}$；
根據(jù)機械能守恒得：$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$+2mgR，得到 v₀=$\sqrt{5gR}$，可見，R越大，v₀越大，而且v₀與小球的質量m無關．故A正確、C錯誤．
B、小球經過B點后的瞬間，由牛頓第二定律得 N-mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$，解得到軌道對小球的支持力 N=6mg，則N與R無關，則由牛頓第三定律知小球經過B點后瞬間對軌道的壓力與R無關．故B錯誤．
D、初動能 E_k0=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=$\frac{5}{2}mgR$，知m與R同時增大，初動能E_k0增大，故D正確．
故選：AD．

點評 機械能守恒與向心力知識綜合是常見的題型．小球恰好通過最高點時速度與輕繩模型類似，軌道對小球恰好沒有作用力，由重力提供向心力，臨界速度v=$\sqrt{gR}$，做選擇題時可直接運用．