Question

4．如圖所示，一段長方體金屬導(dǎo)電材料，厚度為a、高度為b、長度為l，內(nèi)有帶電量為e的自由電子．該導(dǎo)電材料放在垂直于前后表面的勻強(qiáng)磁場中，內(nèi)部磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．當(dāng)有大小為I的穩(wěn)恒電流垂直于磁場方向通過導(dǎo)電材料時(shí)，在導(dǎo)電材料的上下表面間產(chǎn)生一個(gè)恒定的電勢差U．求解以下問題：
（a）分析并比較上下表面電勢的高低；
（b）該導(dǎo)電材料單位體積內(nèi)的自由電子數(shù)量n．
（c）經(jīng)典物理學(xué)認(rèn)為金屬導(dǎo)體中恒定電場形成穩(wěn)恒電流，而金屬的電阻源于定向運(yùn)動(dòng)的自由電子與金屬離子（即金屬原子失去電子后的剩余部分）的碰撞．設(shè)某種金屬中單位體積內(nèi)的自由電子數(shù)量為n，自由電子的質(zhì)量為m，帶電量為e，自由電子連續(xù)兩次碰撞的時(shí)間間隔的平均值為t．試這種金屬的電阻率．

Answer 1

分析 （1）由左手定則分析電子的移動(dòng)方向，從而得出兩板間的電勢高低；
（2）根據(jù)電子受力平衡時(shí)受到的洛侖茲力與電場力相等，聯(lián)立電流的微觀表達(dá)式可求得個(gè)數(shù)；
（3）電子在電場的作用下做定向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)由于受到碰撞而減速，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可明確平均速度，再由電流的微觀表達(dá)及歐姆定律可求得電阻率．

解答 解：
（1）由左手定則可知，自由電子受力向上；故轉(zhuǎn)移到上表面，下表面帶正電，故下表面的電勢高；  
（2）電子受洛侖茲力f=Bev①
板間的場強(qiáng)$E=\frac{U}$②
電子受到的電場力
F=Ee③F=f④
由電流的微觀定義可知：I=neabv⑤
聯(lián)立①②③④⑤$n=\frac{IB}{eaU}$
（3）設(shè)金屬導(dǎo)電材料內(nèi)的勻強(qiáng)電場強(qiáng)度為E
電子定向移動(dòng)的加速度為$a=\frac{eE}{m}$
經(jīng)過時(shí)間t獲得的定向移動(dòng)速度為$v=at=\frac{eEt}{m}$
在時(shí)間t內(nèi)的平均速度為$\overline{v}$=$\frac{1}{2}$v=$\frac{eEt}{2m}$
電流為I=nes$\overline{v}$=$\frac{n{e}^{2}SEt}{2m}$
歐姆定律$I=\frac{El}{R}=\frac{El}{{ρ\frac{l}{S}}}=\frac{ES}{ρ}$
得$ρ=\frac{2m}{{n{e^2}t}}$
答：（1）下極板電勢高；（2）導(dǎo)電材料單位體積內(nèi)的自由電子數(shù)量n為$\frac{BI}{eaU}$；（3）這種金屬的電阻率為$\frac{2m}{n{e}^{2}t}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查電流的形成原因及霍爾效應(yīng)，要注意能分析物理情況，聯(lián)立所學(xué)物理規(guī)律準(zhǔn)確的描述電流的微觀意義．