Question

如圖甲所示，一個質量為m，電荷量為+q的微粒（不計重力），初速度為零，經(jīng)兩金屬板間電場加速后，沿y軸射入一個邊界為矩形的勻強磁場中，磁場方向垂直紙面向里．磁場的四條邊界分別是y=0，y=a，x=-1.5a，x=1.5a．兩金屬板間電壓隨時間均勻增加，如圖乙所示．由于兩金屬板間距很小，微粒在電場中運動時間極短，可認為微粒在加速運動過程中電場恒定．
（1）求微粒分別從磁場上、下邊界射出時對應的電壓范圍；
（2）微粒從磁場左側邊界射出時，求微粒的射出速度相對其進入磁場時初速度偏轉角度的范圍，并確定在左邊界上出射范圍的寬度d．

Answer 1

分析：（1）作出從上邊界和下邊界離開磁場的軌跡的臨界情況，通過幾何關系求出臨界的半徑，從而求出臨界的速度，根據(jù)電場力做功求出電壓的范圍．
（2）作出從左側邊界離開磁場軌跡的臨界情況，結合幾何關系求出在左邊界上出射范圍的寬度d．

解答：解：（1）當微粒運動軌跡與上邊界相切時，由圖a中幾何關系可知，R₁=a．
微粒做圓周運動qv1B=m

v12

R1

．
微粒在電場中加速qU1=

1

2

mv12．
由以上各式可得U1=

qB2a2

2m

．
所以微粒從上邊界射出的電壓范圍為U1′＞

qB2a2

2m

．
當微粒由磁場區(qū)域左下角射出時，由圖b中幾何關系可知，
R₂=0.75a．
微粒做圓周運動qv2B=m

v22

R2

微粒在電場中加速qU2=

1

2

mv22
由以上各式可得U2=

9qB2a2

32m

．
所以微粒從下邊界射出的電壓范圍為0＜U2′≤

9qB2a2

32m

．
（2）當微粒運動軌跡與上邊界相切時
sin∠AO1C=

AC

AO1

=

1

2

，∠AO₁C=30°．
由圖中幾何關系可知此時速度方向偏轉了120°，微粒由左下角射出磁場時，速度方向偏轉了180°，所以微粒的速度偏轉角度范圍的寬度為120°～180°．
左邊界出射范圍d=R1cos30°=

3

2

a．
答：（1）微粒分別從磁場上、下邊界射出時對應的電壓范圍分別為U1′＞

qB2a2

2m

、0＜U2′≤

9qB2a2

32m

．
（2）在左邊界上出射范圍的寬度d=R1cos30°=

3

2

a．

點評：解決本題的關鍵作出粒子運動軌跡的臨界狀況，結合幾何關系，運用牛頓第二定律和動能定理進行求解．