Question

10．一組宇航員乘航天飛機(jī)，前往太空去修理位于離地球表面高度為h的圓形軌道上的哈勃太空望遠(yuǎn)鏡H．機(jī)組人員使航天飛機(jī)S進(jìn)入與H相同的軌道并關(guān)閉推動(dòng)火箭，而望遠(yuǎn)鏡則在航天飛機(jī)前方數(shù)千米處，如圖所示，設(shè)G為引力常量，而M為地球質(zhì)量．（已知地球半徑R和地球表面重力加速度g）
（1）在航天飛機(jī)內(nèi)，質(zhì)量為70kg的宇航員的視重是多少？
（2）計(jì)算圓形軌道上的重力加速度g'的大小．
（3）計(jì)算航天飛機(jī)在軌道上的速率和周期．

Answer 1

分析 （1）在航天飛機(jī)內(nèi)，宇航員處于完全失重狀態(tài)．
（2）根據(jù)萬有引力等于重力，結(jié)合黃金代換式求出圓形軌道上的重力加速度大小．
（3）根據(jù)萬有引力提供向心力，萬有引力等于重力求出航天飛機(jī)在軌道上的速率和周期．

解答 解：（1）在航天飛機(jī)內(nèi)，宇航員處于完全失重狀態(tài)，故視重應(yīng)為0．            
（2）設(shè)航天飛機(jī)質(zhì)量為m，航天器繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)由其重力提供向心力．
即：mg′=G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$，
所以g′=$\frac{GM}{（R+h）^{2}}$．
而GM=gR²，代入上式可解得g′=$g（\frac{R}{R+h}）^{2}$．
（3）地球?qū)教祜w機(jī)的萬有引力提供向心力，
即G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R+h}$，解得：v=$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{R+h}}$．
又因?yàn)?G\frac{Mm}{（R+h）^{2}}=m（R+h）\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$， 故解得：T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{GM}}$=2π$\sqrt{\frac{（R+h）^{3}}{g{R}^{2}}}$． 答：（1）在航天飛機(jī)內(nèi)，質(zhì)量為70kg的宇航員的視重是0． （2）圓形軌道上的重力加速度g′的大小為$g（\frac{R}{R+h}）^{2}$． （3）計(jì)算航天飛機(jī)在軌道上的速率為$g（\frac{R}{R+h}）^{2}$，周期為2π$\sqrt{\frac{（R+h）^{3}}{g{R}^{2}}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力定律的兩個(gè)重要理論：1、萬有引力等于重力，2、萬有引力提供向心力，并能靈活運(yùn)用．