Question

2．一靜止的帶電粒子電荷量為q，質(zhì)量為m（不計(jì)重力），從P點(diǎn)經(jīng)電場強(qiáng)度為E的勻強(qiáng)電場加速，運(yùn)動(dòng)了距離L之后經(jīng)過A點(diǎn)進(jìn)入右邊的有界磁場B₁區(qū)域，穿過B₁區(qū)域后再進(jìn)入空間足夠大的磁場B₂區(qū)域，B₁和B₂的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B，方向相反．如圖所示，若帶電粒子能按某一路徑再由點(diǎn)A返回電場并回到出發(fā)點(diǎn)P重復(fù)上述過程（虛線為相反方向的磁場分界面，并不表示有什么障礙物），求：
（1）粒子經(jīng)過A點(diǎn)的速度大�。�
（2）粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)半徑多大；
（3）磁場B₁的寬度d為多大；
（4）粒子在B₁和B₂兩個(gè)磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間之比．

Answer 1

分析 （1）帶正電的粒子在電場中做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由動(dòng)能定理即可求出速度；
（2）垂直進(jìn)入磁場后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，根據(jù)動(dòng)能定理即可求解帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的速率；粒子在磁場中由洛倫茲力充當(dāng)向心力，由牛頓第二定律求出軌跡的半徑．
（3）根據(jù)幾何關(guān)系求解中間磁場區(qū)域的寬度；
（4）先求出在電場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，再求出在兩段磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，三者之和即可帶電粒子從O點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)到第一次回到O點(diǎn)所用時(shí)間．

解答 解：（1）帶電粒子由P到A的過程，由動(dòng)能定理，有：
qEL=$\frac{1}{2}$mv²-0
在A點(diǎn)的速度大小為：
v=$\sqrt{\frac{2qEL}{m}}$
（2）帶電粒子在磁場B₁和B₂中均做圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，O₁、O₂、O₃為三段圓弧所對的圓心．
由qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
得：r=$\frac{mv}{qB}$=$\frac{\sqrt{2mqEL}}{Bq}$
（3）設(shè)∠O₁O₂O₃為2θ，在Rt△O₁MN中，有：
sinθ=$\frac{\overline{{O}_{1}M}}{\overline{{O}_{1}N}}$=$\frac{r-rsinθ}{r}$
sinθ=$\frac{1}{2}$  θ=$\frac{π}{6}$
左邊磁場寬度為：
d=$\overline{MN}$=rcosθ=$\frac{\sqrt{6qmEL}}{2qB}$
（4）粒子在左邊磁場中的兩段圓弧所對應(yīng)的圓心角為：
θ₁=（$\frac{1}{2}$π-θ）×2=$\frac{2π}{3}$
在右邊磁場中一段圓弧所對應(yīng)的圓心角為：
θ₂=（π-θ）×2=$\frac{5π}{3}$
由于周期相同，故而左右兩個(gè)磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間之比為：
$\frac{{t}_{1}}{{t}_{2}}$=$\frac{{θ}_{1}}{{θ}_{2}}$=$\frac{2}{5}$
答：（1）粒子經(jīng)過A點(diǎn)的速度大小是$\sqrt{\frac{2qEL}{m}}$；
（2）粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)半徑$\frac{\sqrt{2mqEL}}{Bq}$；
（3）磁場B₁的寬度d為$\frac{\sqrt{6qmEL}}{2qB}$；
（4）粒子在B₁和B₂兩個(gè)磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間之比是 $\frac{2}{5}$．

點(diǎn)評 本題是帶電粒子在組合場中運(yùn)動(dòng)的問題，解題關(guān)鍵是畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，運(yùn)用幾何知識求解軌跡半徑．