Question

2．如圖所示，在傾角為θ=37°的足夠長的斜面上，有質(zhì)量為m₁=2kg的長木板．開始時，長木板上有一質(zhì)量為m₂=1kg的小鐵塊（視為質(zhì)點）以相對地面的初速度v₀=2m/s從長木板的中點沿長木板向下滑動，同時長木板在沿斜面向上的拉力作用下始終做速度為v=1m/s的勻速運動，小鐵塊最終與長木板一起沿斜面向上做勻速運動．已知小鐵塊與長木板、長木板與斜面間的動摩擦因數(shù)均為產(chǎn)μ=0.9，重力加速度為g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，試求：
（1）小鐵塊在長木板上滑動時的加速度；
（2）長木板至少多長？
（3）在小鐵塊從木板中點運動到與木板速度相同的過程中拉力的功率．

Answer 1

分析 （1）分析小鐵塊的受力，根據(jù)牛頓第二定律求解小鐵塊在長木板上滑動時的加速度大小和方向；
（2）小鐵塊先沿斜面向下做勻減速運動至速度為零，再沿斜面向上做勻加速運動，最終以速度v與長木板一起沿斜面向上做勻速運動．根據(jù)速度公式求出小鐵塊從開始向下滑動到速度與木板相同所需要的時間，根據(jù)位移公式求出此過程小鐵塊和木板的位移，由幾何關系求出長木板的最小的長度；
（3）對木板，由平衡條件求出拉力的大小，再求出拉力做功，根據(jù)$P=\frac{W}{t}$求出功率

解答 解：（1）設小鐵塊的加速度大小為a，對小鐵塊受力分析有（取沿斜面向上為正方向）
沿斜面方向：${f}_{2}^{\;}-{m}_{2}^{\;}gsinθ={m}_{2}^{\;}a$①
${f}_{2}^{\;}=μ{N}_{2}^{\;}$②
垂直斜面方向：${N}_{2}^{\;}={m}_{2}^{\;}gcosθ$③
得$a=g（μcosθ-sinθ）=1.2m/{s}_{\;}^{2}$，沿斜面向上
（2）小鐵塊先沿斜面向下勻減速至速度為零再沿斜面向上勻加速，最終獲穩(wěn)定速度v，設歷時t后小鐵塊達穩(wěn)定速度，則
$v-（-{v}_{0}^{\;}）=at$
得$t=\frac{{v}_{0}^{\;}+v}{g（μcosθ-sinθ）}=2.5s$
t內(nèi)小鐵塊位移為${s}_{1}^{\;}$，木板位移為${s}_{2}^{\;}$
${s}_{1}^{\;}=\frac{{v}_{0}^{\;}-v}{2}t$，方向沿斜面向下
${s}_{2}^{\;}=vt$，方向沿斜面向上
因為$\frac{L}{2}≥{s}_{1}^{\;}+{s}_{2}^{\;}$
所以$L≥2（{s}_{1}^{\;}+{s}_{2}^{\;}）=\frac{（{v}_{0}^{\;}+v）_{\;}^{2}}{g（μcosθ-sinθ）}=7.5m$
（3）對木板：$F={f}_{1}^{\;}+{f}_{2}^{\;}+{m}_{1}^{\;}gsinθ$
${f}_{1}^{\;}=μ{N}_{1}^{\;}$
${N}_{1}^{\;}=（{m}_{1}^{\;}+{m}_{2}^{\;}）gcosθ$
則拉力做的功為$W=F{s}_{2}^{\;}=102J$
$P=\frac{W}{t}=\frac{102}{2.5}W=40.8W$
答：（1）小鐵塊在長木板上滑動時的加速度為$1.2m/{s}_{\;}^{2}$，方向沿斜面向上；
（2）長木板至少7.5m
（3）在小鐵塊從木板中點運動到與木板速度相同的過程中拉力的功率為40.8W．

點評 本題是要正確分析鐵塊的運動情況，運用牛頓第二定律和運動學公式結合處理是基本方法．