Question

6．已知地球半徑R=6.4×10⁶m，地面附近的重力加速度g=9.8m/s²，第一宇宙速度v₁=7.9×10³m/s，若發(fā)射一顆地球同步衛(wèi)星，使它在赤道上空運轉，其距地高度h=3.56×10⁷m，請用不同方法估算地球的質量．（提示：所謂同步，就是衛(wèi)星相對于地面靜止即衛(wèi)星運轉周期等于地球自轉周期）

Answer 1

分析 地球表面的物體萬有引力充當物體的重力；人造地球衛(wèi)星均是萬有引力充當向心力；繞地球表面運行的衛(wèi)星，其運動速度為第一宇宙速度；地球同步衛(wèi)星的周期與地球的自轉周期相同．

解答 解：（1）地球同步衛(wèi)星的周期等于地球的自轉周期，故有：
G$\frac{Mm}{（R+H）^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$（R+H）
解得地球質量M=$\frac{4{π}^{2}（R+H）^{3}}{G{T}^{2}}$=$\frac{4×3.1{4}^{2}×（6.4+3.56×1{0}^{7}）}{6.67×1{0}^{-11}×（24×3600）^{2}}$=6.0×10²⁴kg
（2）對地面的物體由$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg可得：
M=$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{G}}$=$\sqrt{\frac{10×（6.4×1{0}^{6}）^{2}}{6.67×1{0}^{-11}}}$=6.0×10²⁴kg；
（3）第一宇宙速度為繞地球表面運動的衛(wèi)星的速度；則有：
$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：M=$\frac{R{v}^{2}}{G}$=$\frac{6.4×1{0}^{6}×（7.9×1{0}^{3}）^{2}}{6.67×1{0}^{-11}}$=6.0×10²⁴kg；
答：地球的質量為6.0×10²⁴kg

點評 本題考查天體質量的計算，要牢記天體中總是萬有引力充當向心力，要明確向心力公式的正確選擇．