Question

【題目】如圖甲所示，兩豎直同定的光滑導(dǎo)軌AC、A'C'間距為L，上端連接一阻值為R的電阻。矩形區(qū)域abcd上方的矩形區(qū)域abA'A內(nèi)有方向垂直導(dǎo)軌平面向外的均勻分布的磁場，其磁感應(yīng)強(qiáng)度B1隨時(shí)間t變化的規(guī)律如圖乙所示（其中B0、t0均為已知量），A、a兩點(diǎn)間的高度差為2gt0（其中g為重力加速度），矩形區(qū)域abcd下方有磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B0、方向垂直導(dǎo)軌平面向里的勻強(qiáng)磁場。現(xiàn)將一長度為L，阻值為R的金屬棒從ab處在t=0時(shí)刻由靜止釋放，金屬棒在t=t0時(shí)刻到達(dá)cd處，此后的一段時(shí)間內(nèi)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，金屬棒在t=4t0時(shí)刻到達(dá)CC'處，且此時(shí)金屬棒的速度大小為kgt0（k為常數(shù)）。金屬棒始終與導(dǎo)軌垂直且接觸良好，導(dǎo)軌電阻不計(jì)，空氣阻力不計(jì)。求：

(1)金屬棒到達(dá)cd處時(shí)的速度大小v以及a、d兩點(diǎn)間的高度差h；

(2)金屬棒的質(zhì)量m；

(3)在0－4t0時(shí)間內(nèi)，回路中產(chǎn)生的焦耳熱Q以及d、C兩點(diǎn)的高度差H。

Answer 1

【答案】(1)gt0，；(2)；(3)，

【解析】

(1)在0~t0時(shí)間內(nèi)，金屬棒不受安培力，從ab處運(yùn)動(dòng)到cd處的過程做自由落體運(yùn)動(dòng)，則有

(2)在0~2t0時(shí)間內(nèi)，回路中由于ab上方的磁場變化產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢

在t0~2t0時(shí)間內(nèi)，回路中由于金屬棒切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢

經(jīng)分析可知，在t0~2t0時(shí)間內(nèi)，金屬棒做勻速直線運(yùn)動(dòng)，回路中有逆時(shí)針方向的感應(yīng)電流，總的感應(yīng)電動(dòng)勢為

根據(jù)閉合電路的歐姆定律有

對(duì)金屬棒，由受力平衡條件有

B0IL=mg

解得

(3)在0~t0時(shí)間內(nèi)，回路中產(chǎn)生的焦耳熱∶

在t0 ~2t0時(shí)間內(nèi)，金屬棒勻速下落的高度∶

在t0~2t0時(shí)間內(nèi)，回路中產(chǎn)生的焦耳熱

設(shè)在2t0~4t0時(shí)間內(nèi)，金屬棒下落的高度為h2，回路中通過的感應(yīng)電流的平均值為I，有

根據(jù)動(dòng)量定理有

解得

經(jīng)分析可知

解得

根據(jù)能量守恒定律可知，在2t0~4t0時(shí)間內(nèi)，回路中產(chǎn)生的焦耳熱

經(jīng)分析可知

Q=Q1+Q2+Q3

解得