Question

2．已知月球質量是地球質量的$\frac{1}{81}$，月球半徑是地球半徑的$\frac{1}{4}$，分別在地球和月球上做同一實驗：將一根內壁光滑的圓軌道豎直放置，如圖所示，A與圓心在同一水平面內，一小鋼球被一彈簧槍從A處貼著軌道射入，第一種情況使鋼球恰能到達最高點B點；第二種情使鋼球經(jīng)B飛出后，恰好落回距離A點為半徑r 的C點，且C、A、O三點在同一直線上，求：
（1）第一種情況，在月球和地球上恰過B點的速度之比．
（2）第二種情況下，在月球和地球上經(jīng)過B點時對軌道壓力的比值．

Answer 1

分析 （1）恰好過圓周的最高點，在最高點重力提供向心力，結合黃金代換式，聯(lián)立方程即可求解
（2）根據(jù)平拋運動的規(guī)律求出最高點的速度，再根據(jù)牛頓第二定律求經(jīng)過B點時對軌道的壓力

解答 解：（1）恰好過B點，有$mg=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$
得$v=\sqrt{gr}$①
根據(jù)重力等于萬有引力，有
$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg$
得$g=\frac{GM}{{R}_{\;}^{2}}$②
聯(lián)立①②得：$v=\sqrt{\frac{GMr}{{R}_{\;}^{2}}}$
代入數(shù)據(jù)：${v}_{1}^{\;}=\sqrt{\frac{G\frac{1}{81}{M}_{地}^{\;}r}{（\frac{1}{4}{R}_{地}^{\;}）_{\;}^{2}}}=\frac{4}{9}\sqrt{\frac{G{M}_{地}^{\;}r}{{R}_{地}^{2}}}=\frac{4}{9}{v}_{2}^{\;}$
所以：$\frac{{v}_{1}^{\;}}{{v}_{2}^{\;}}=\frac{4}{9}$
（2）由平拋知識可知
水平方向：2r=vt
豎直方向：$r=\frac{1}{2}g{t}_{\;}^{2}$
即$v=\sqrt{2gr}$
由圓周運動${F}_{N}^{\;}+mg=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$
則${F}_{N}^{\;}=3mg$
$\frac{{F}_{N1}^{\;}}{{F}_{N2}^{\;}}=\frac{{g}_{1}^{\;}}{{g}_{2}^{\;}}=\frac{16}{81}$：
答：（1）第一種情況，在月球和地球上恰過B點的速度之比為$\frac{4}{9}$．
（2）第二種情況下，在月球和地球上經(jīng)過B點時對軌道壓力的比值為$\frac{16}{81}$．

點評 本題綜合考查了向心力、萬有引力定律、平拋運動、牛頓第二定律等知識點，關鍵是物理情景要理清，再選擇合適的規(guī)律，注意知識的綜合能力．