Question

經(jīng)過用天文望遠(yuǎn)鏡長(zhǎng)期觀測(cè)，人們?cè)谟钪嬷幸呀?jīng)發(fā)現(xiàn)了許多雙星系統(tǒng)，通過對(duì)它們的研究，使我們對(duì)宇宙中物質(zhì)的存在形式和分布情況有了較深刻的認(rèn)識(shí)．雙星系統(tǒng)由兩個(gè)星體構(gòu)成，其中每個(gè)星體的線度都遠(yuǎn)小于兩星體之間的距離．一般雙星系統(tǒng)距離其他星體很遠(yuǎn)，可以當(dāng)作孤立系統(tǒng)來處理．現(xiàn)根據(jù)對(duì)某一雙星系統(tǒng)的光度學(xué)測(cè)量確定：該雙星系統(tǒng)中每個(gè)星體的質(zhì)量都是m，兩者相距L，它們正圍繞兩者連線的中點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．
（1）試計(jì)算該雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期T_計(jì)算；
（2）若實(shí)際上觀測(cè)到的運(yùn)動(dòng)周期為T_觀測(cè)，且T_觀測(cè)：T_計(jì)算=1：

N

（N＞1）．為了解釋T_觀測(cè)與T_計(jì)算的不同，目前有一種流行的理論認(rèn)為，在宇宙中可能存在一種望遠(yuǎn)鏡觀測(cè)不到的暗物質(zhì)．作為一種簡(jiǎn)化模型，我們假定在以這兩個(gè)星體連線的中點(diǎn)為圓心、

L

4

為半徑的一個(gè)球體內(nèi)均勻分布著這種暗物質(zhì)．若不考慮其他暗物質(zhì)的影響，請(qǐng)根據(jù)這一模型和上述觀測(cè)結(jié)果確定該星系間這種暗物質(zhì)的密度．（球的體積V=

4

3

πr3，式中r為球半徑）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)對(duì)稱性可知，兩顆星都繞系統(tǒng)中心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬有引力提供向心力列式求解；
（2）暗物質(zhì)引力和星星引力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解出暗物質(zhì)的質(zhì)量，再求解密度．

解答：解：（1）由于每個(gè)星體的線度都遠(yuǎn)小于兩星體之間的距離，滿足萬有引力定律的使用條件．
雙星均繞它們連線的中點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)的周期為T_計(jì)算，萬有引力提供向心力：

Gm2

L2

=m?(

2π

T計(jì)算

)2?

L

2

；
解得 T計(jì)算=πL

2L Gm

；
（2）根據(jù)觀測(cè)結(jié)果，星體的運(yùn)動(dòng)周期  T觀測(cè)=

1

N

T計(jì)算（N＞1）．
這種差異是由雙星間均勻分布的暗物質(zhì)引起的．設(shè)均勻分布在半徑為

L

4

的球體內(nèi)的暗物質(zhì)的總質(zhì)量為m'．考慮暗物質(zhì)作用后雙星的周期即為觀測(cè)到的周期T_觀測(cè)，則有

Gm2

L2

+G

mm′

( L 2 )2

=m?(

2π

T   觀測(cè)

)2?

l

2

；
由以上各式解得  m′=

N-1

4

m；
設(shè)所求暗物質(zhì)的密度為ρ，則有m′=ρ?

4

3

?πr3，式中半徑r=

L

4

；
即

N-1

4

m=ρ

4

3

π(

L

4

)3；
解得ρ=

12(N-1)m

πL3

；
答：（1）該雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期T_計(jì)算為πL

2L Gm

；
（2）該星系間這種暗物質(zhì)的密度為

12(N-1)m

πL3

．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵找出向心力來源，然后根據(jù)牛頓第二定律列方程求解，要細(xì)心，不難．