Question

（2009?寧波模擬）如圖，空間XOY的第一象限存在垂直XOY平面向里的勻強(qiáng)磁場，第四象限存在平行該平面的勻強(qiáng)電場（圖中未畫出）；OMN是一絕緣彈性材料制成的等邊三角形框架，邊長L為4m，OM邊上的P處開有一個(gè)小孔，OP距離為1m．現(xiàn)有一質(zhì)量m為1×10^-18kg，電量q為1×10^-15C的帶電微粒（重力不計(jì)）從Y軸上的C點(diǎn)以速度 V₀=1×10²m/s平行X軸射入，剛好可以垂直X軸從點(diǎn)P進(jìn)入框架，CO距離為2m．粒子進(jìn)入框架后與框架發(fā)生若干次垂直的彈性碰撞，碰撞過程中粒子的電量和速度大小均保持不變，速度方向與碰前相反，最后粒子又從P點(diǎn)垂直X軸射出，求：
（1）所加電場強(qiáng)度的大�。�
（2）所加磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度大�。�
（3）求在碰撞次數(shù)最少的情況下，該微�；氐紺點(diǎn)的時(shí)間間隔．

Answer 1

分析：（1）將粒子的運(yùn)動(dòng)分解成水平方向的勻減速運(yùn)動(dòng)和豎直向上的勻加速運(yùn)動(dòng)，分別使用運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式求出粒子的加速度，然后求出電場強(qiáng)度；
（2）粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其半徑R=

mv

qB

，若粒子又從P點(diǎn)垂直X軸射出則滿足（1+2n）R=OP，代人數(shù)據(jù)即可求得結(jié)果．
（3）當(dāng)粒子與框架碰撞次數(shù)最少，知粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)半徑等于OP的長度，結(jié)合幾何關(guān)系求出粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的圈數(shù)，從而得出在磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，抓住勻變速直線運(yùn)動(dòng)的平均速度公式，根據(jù)等時(shí)性求出在電場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，從而得出微�；氐紺點(diǎn)的時(shí)間間隔．

解答：解：粒子在勻強(qiáng)電場中運(yùn)動(dòng)時(shí)，在X軸方向上的位移為1m．
根據(jù)速度位移公式有：

V

2 0

=2aXSX
代入數(shù)據(jù)得，（1×10²）²=2a_X×1
解得aX=5×103m/s2
因?yàn)?span id="nubpkop" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

VY

2

t=OC，

Vx

2

t=OP，
粒子到達(dá)P點(diǎn)時(shí)速度為：VY=2VX=2V0=2×102m/s
aY=2aX=1×104m/s
粒子的加速度為a=5

5

×103m/s2
E=

ma

q

=5

5

V/m．
（2）設(shè)粒子在框架內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)半徑為R
由分析可知（1+2n）R=OP
解得：R=

1

1+2n

m(n=0，1，2，3…)
由R=

mv

qB

得
則B=

mv

qB

=

1+2n

5

T（n=0，1，2，3…）
（3）設(shè)從C到P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₀
碰撞次數(shù)最小的情況下在磁場中運(yùn)動(dòng)的周期為T，如圖所示，在磁場中運(yùn)動(dòng)了2周．
從C到P的時(shí)間t0=

OP

( V0 2 )

=

1

50

=2×10-2s．
T=

2πm

qB

=3.14×10-2s．
在電場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t1=2t0=4×10-2s．
在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t2=2T=6.28×10-2s．
回到C點(diǎn)的時(shí)間t_總=0.1028s．
答：（1）所加電場強(qiáng)度的大小為5

5

V/m．
（2）所加磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為

1+2n

5

T（n=0，1，2，3…）．
（3）微�；氐紺點(diǎn)的時(shí)間間隔為0.1028s．

點(diǎn)評：該題是組合場問題，對數(shù)學(xué)幾何能力的要求較高，抓住（1+2n）R=OP 是解決該題的關(guān)鍵．該題的難度較大．