Question

19．如圖所示，光滑水平面AB與一半圓形軌道在B點(diǎn)相連，軌道位于豎直面內(nèi)，其半徑為R，一個質(zhì)量為m的物塊靜止在水平面上，現(xiàn)向左推物塊使其壓緊彈簧，然后放手，物塊在彈力作用下獲得一速度，當(dāng)它經(jīng)B點(diǎn)進(jìn)入半圓軌道瞬間，對軌道的壓力為其重力的7倍，之后向上運(yùn)動恰能完成半圓周運(yùn)動到達(dá)C點(diǎn)，重力加速度為g．求：
（1）開始時彈簧所具有的彈性勢能；
（2）物塊從B到C克服阻力的功
（3）物塊離開C點(diǎn)后，再落回到水平面上時速度的大小？

Answer 1

分析 （1）物塊在B點(diǎn)做圓周運(yùn)動，由牛頓第二定律可以求出到達(dá)B點(diǎn)時的速度，然后由能量守恒定律可以求出開始時彈簧所具有的彈性勢能；
（2）物體恰能通過最高點(diǎn)，故說明此時重力恰好充當(dāng)向心力，由向心力公式可得出C點(diǎn)的速度；由動能定理可以求出克服摩擦力所做的功．
（3）物體離開C點(diǎn)后做平拋運(yùn)動，由平拋運(yùn)動的規(guī)律可求得物體落回到水平面上經(jīng)過的水平距離．

解答 解：（1）物塊在B點(diǎn)時做圓周運(yùn)動，由牛頓第二定律得：F-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$…①
由牛頓第三定律得：F=F′=7mg…②
解得：v_B=$\sqrt{6gR}$
彈簧釋放過程彈性勢能轉(zhuǎn)化為物塊的動能，則由能量守恒定律，開始時彈簧所具有的彈性勢能為：
E_p=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$=3mgR；
（2）物塊恰能完成圓運(yùn)動到達(dá)C點(diǎn)，在C點(diǎn)由牛頓第二定律得：
mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
物塊在C點(diǎn)的速度：v_C=$\sqrt{gR}$…③
從B到C過程中，由動能定理得：
 W_f-mg•2R=$\frac{1}{2}$mv_C²-$\frac{1}{2}$mv_B²…④
由①②③④解得：W_f=-$\frac{1}{2}$mgR，
則克服摩擦力做功為 $\frac{1}{2}$mgR；
（3）物塊離開C點(diǎn)后做平拋運(yùn)動，
在豎直方向上：2R=$\frac{1}{2}$gt²，t=2$\sqrt{\frac{R}{g}}$
落地時豎直分速度為：v_y=gt=2$\sqrt{gR}$
速度大小為：v=$\sqrt{{v}_{x}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\sqrt{5gR}$；
答：（1）開始時彈簧所具有的彈性勢能是3mgR；
（2）物塊從B到C克服阻力的功為$\frac{1}{2}$mgR；
（3）物塊離開C點(diǎn)后，再落回到水平面上時速度的大小為$\sqrt{5gR}$．

點(diǎn)評 本題可分為彈性勢能轉(zhuǎn)化為動能、動能轉(zhuǎn)化為重力勢能及平拋三個過程，三個過程中機(jī)械能均守恒，正確利用好機(jī)械能守恒定律即可正確求解．