Question

7．如圖所示，正方形絕緣光滑水平臺面WXYZ邊長l=1.8m，距地面h=0.8m．平行板電容器的極板CD間距d=0.1m且垂直放置于臺面，C板位于邊界WX上，D板與邊界WZ相交處有一小孔．電容器外的臺面區(qū)域內(nèi)有磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1T、方向豎直向上的勻強(qiáng)磁場．電荷量q=5×10^-13 C的微粒靜止于W處，在CD間加上恒定電壓U=2.5V，板間微粒經(jīng)電場加速后由D板所開小孔進(jìn)入磁場（微粒始終不與極板接觸），然后由XY邊界離開臺面．在微粒離開臺面瞬時，靜止于X正下方水平地面上A點(diǎn)的滑塊獲得一水平速度，在微粒落地時恰好與之相遇．假定微粒在真空中運(yùn)動，極板間電場視為勻強(qiáng)電場，滑塊視為質(zhì)點(diǎn)，滑塊與地面間的動摩擦因數(shù)μ=0.2，取g=10m/s²．
（1）求微粒在極板間所受電場力的大小并說明兩板的極性；
（2）求由XY邊界離開臺面的微粒的質(zhì)量范圍；
（3）若微粒質(zhì)量m₀=1×10^-13 kg，求滑塊開始運(yùn)動時所獲得的速度．

Answer 1

分析 （1）微粒在平臺上按順時針方向轉(zhuǎn)動，由左手定則可判斷微粒的電性；在平行板電容器間加速，從而可判斷兩板的極性．
（2）微粒要由XY邊界離開臺面，由兩個邊界條件：一個是從XY的左端離開，再者是軌跡與YZ相切到達(dá)XY邊離開臺面，做出兩種情況下的軌跡圖，從而可知軌跡半徑的范圍，再由微粒在勻強(qiáng)磁場中的圓周運(yùn)動的半徑公式，可求出微粒的質(zhì)量范圍．
（3）先由半徑公式結(jié)合微粒的質(zhì)量求出微粒的運(yùn)動半徑，求出從XY邊緣離開平臺時的位置及與XY邊的夾角，此后微粒做平拋運(yùn)動，直到與滑塊相遇；滑塊做勻減速直線運(yùn)動，應(yīng)用運(yùn)動學(xué)公式結(jié)合幾何關(guān)系，便可求出滑塊的初始速度

解答 解：（1）微粒在極板間所受電場力大小為：F=$\frac{qU}ukxo06p$…①
代入數(shù)據(jù)得：F=1.25×10^-11 N…②

由微粒在磁場中的運(yùn)動可判斷微粒帶正電荷，微粒由極板間電場加速，故C板為正極，D板為負(fù)極．
（2）若微粒的質(zhì)量為m，剛進(jìn)入磁場時的速度大小為v，
由動能定理Uq=$\frac{1}{2}$mv²…③
微粒在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，洛倫茲力充當(dāng)向心力，若圓周運(yùn)動半徑為R，
有qvB=m$\frac{v2}{R}$…④
微粒要從XY邊界離開臺面，則圓周運(yùn)動的邊緣軌跡如圖所示，半徑的極小值與極大值分別為
R₁=$\frac{l}{2}$…⑤
R₂=l-d…⑥
聯(lián)立③～⑥，代入數(shù)據(jù)，有8.1×10^-14 kg＜m≤2.89×10^-13 kg…⑦
（3）如圖所示，微粒在臺面以速度v做以O(shè)點(diǎn)為圓心、R為半徑的圓周運(yùn)動，從臺面邊緣P點(diǎn)沿與XY邊界成θ角飛出做平拋運(yùn)動，落地點(diǎn)為Q，水平位移為s，下落時間為t．設(shè)滑塊質(zhì)量為M，滑塊獲得速度v₀后在t內(nèi)沿與平臺前側(cè)面成φ角方向，以加速度a做勻減速直線運(yùn)動到Q，經(jīng)過位移為k．由幾何關(guān)系，可是
cosθ=$\frac{l-R}{R}$…⑧
根據(jù)平拋運(yùn)動，
t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$…⑨
s=vt…⑩
對于滑塊，由牛頓定律及運(yùn)動學(xué)方程，有：
μMg=Ma…（11）
k=v₀t-$\frac{1}{2}$at²…（12）
再由余弦定理，k²=s²+（d+Rsinθ）²-2s（d+Rsinθ）cosθ…（13）
及正弦定理，$\frac{sinφ}{s}$=$\frac{sinθ}{k}$…（14）
聯(lián)立③、④和⑧～（14），并代入數(shù)據(jù)解得：v₀=4.15 m/s…（15）
φ=arcsin0.8（或φ=53°）…（16）
答：（1）微粒在極板間所受電場力的大小1.25×10^-11N，C板為正，D板為負(fù)．
    （2）由XY邊界離開臺面的微粒的質(zhì)量范圍為8.1×10^-14kg＜m≤2.89×10^-13kg．
    （3）若微粒質(zhì)量m_o=1×10^-13kg，滑塊開始運(yùn)動時所獲得的速度為4.15m/s

點(diǎn)評 該題考察的數(shù)學(xué)知識在物理中的應(yīng)用，尤其是三角函數(shù)的應(yīng)用．三角函數(shù)的應(yīng)用在近幾年高考試題中經(jīng)常出現(xiàn)，盡管它只是起到運(yùn)算作用，但是如果忘記了三角函數(shù)公式是無法進(jìn)行下去的，自然得不到正確的結(jié)果．由于是物理試題，三角函數(shù)過程在解答過程可以不體現(xiàn)、只在草稿紙上畫．
此方面的問題具體要做到以下兩點(diǎn)：
（1）能夠根據(jù)具體問題列出物理量之間的關(guān)系式，進(jìn)行推導(dǎo)和求解，并根據(jù)結(jié)果得出物理結(jié)論．
（2）必要時能運(yùn)用幾何圖形、函數(shù)圖象進(jìn)行表達(dá)、分析