Question

2．如圖所示，豎起平面內固定一半徑為R、內壁光滑的圓形管道，管道底部與一水平光滑軌道平滑連接，一小球以v₀（未知）從管道底部進入管中．
（1）若小球通過管道最高點時對管壁無作用力，求v₀；
（2）若小球通過管道最高點時對管壁的作用力不大于小球重力的K倍（K＞1），求v₀滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）若小球通過管道最高點時對管壁無作用力，根據(jù)牛頓第二定律得出最高點速度，根據(jù)機械能守恒定律求解初速度v₀．
（2）以小球為研究對象，小球經過最高點時速度不同，管壁對球的作用力大小和方向不同，分析討論：當管壁對球作用力方向不同時，由牛頓第二定律求出在最高點的速度，由機械能守恒定律求出初速v₀．

解答 解：（1）若小球通過管道最高點時對管壁無作用力，
根據(jù)牛頓第二定律得mg=$\frac{{mv}^{2}}{R}$
v=$\sqrt{gR}$，
根據(jù)機械能守恒定律得：mg•2R=$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$-$\frac{1}{2}$mv²，
解得：v₀=$\sqrt{5gR}$
（2）若小球通過管道最高點時對管壁的作用力不大于小球重力的K倍（K＞1），
當管壁對球的作用力方向向下時，根據(jù)牛頓第二定律得mg+Kmg=$\frac{{mv}_{1}^{2}}{R}$
根據(jù)機械能守恒定律得：mg•2R=$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$-$\frac{1}{2}$m${v}_{1}^{2}$，
v₀=$\sqrt{5gR+kgR}$
當管壁對球的作用力方向向上時，根據(jù)牛頓第二定律得mg-Kmg=$\frac{{mv}_{2}^{2}}{R}$
根據(jù)機械能守恒定律得：mg•2R=$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$-$\frac{1}{2}$m${v}_{2}^{2}$，
v₀=$\sqrt{5gR-kgR}$
所以v₀滿足的條件是$\sqrt{5gR-kgR}$≤v₀≤$\sqrt{5gR+kgR}$．
答：（1）若小球通過管道最高點時對管壁無作用力，v₀=$\sqrt{5gR}$；
（2）若小球通過管道最高點時對管壁的作用力不大于小球重力的K倍（K＞1），v₀滿足的條件是$\sqrt{5gR-kgR}$≤v₀≤$\sqrt{5gR+kgR}$．

點評 本題是機械能守恒定律與向心力知識的結合，考查綜合應用物理規(guī)律的能力．對于小球在管子里的運動情形與輕桿模型類似，關鍵抓住臨界情況：小球恰好到最高點和在最高點恰好不受管壁作用力兩種情況．