Question

如圖所示，粗糙的斜面AB下端與光滑的圓弧軌道BCD相切于B，整個(gè)裝置豎直放置，C是最低點(diǎn)，圓心角∠BOC=37°，D與圓心O等高，圓弧軌道半徑R=0.5m，斜面長(zhǎng)L=3m，現(xiàn)有一個(gè)質(zhì)量m=0.1kg的小物塊P從斜面AB上端A點(diǎn)無(wú)初速下滑，物體P與斜面AB之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.25．取sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度g=10m/s²．求：
（1）物塊P第一次通過(guò)C點(diǎn)時(shí)的速度大小和在C點(diǎn)處對(duì)軌道的壓力；
（2）物塊P經(jīng)過(guò)D點(diǎn)的次數(shù)．

Answer 1

分析：（1）對(duì)A到C的過(guò)程運(yùn)用動(dòng)能定理，求出物塊第一次通過(guò)C點(diǎn)的速度大小，根據(jù)牛頓第二定律求出支持力的大小，從而得出在C點(diǎn)對(duì)軌道的壓力．
（2）根據(jù)動(dòng)能定理求出通過(guò)B點(diǎn)速度的通項(xiàng)表達(dá)式，若物塊不能到達(dá)D點(diǎn)，則在B點(diǎn)的動(dòng)能小于CD間的重力勢(shì)能之差，結(jié)合該關(guān)系求出物塊P經(jīng)過(guò)D點(diǎn)的次數(shù)．

解答：解：（1）物塊P從A下滑經(jīng)B到C過(guò)程中根據(jù)動(dòng)能定理：

1

2

m

v

2 C

=mgLsin37°+mgR(1-cos37°)-μmgcos37°?L
解得vC=

2gL(sin37°-μcos37°)+2gR(1-cos37°)

代入數(shù)據(jù)得，vC=

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m/s
又因?yàn)椋?span id="raxqyos" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">m

v 2 C

R

=FC-mg
FC=m

v 2 C

R

+mg=6.2N
由牛頓第三定律知，對(duì)C處的壓力F_C′=F_C=6.2N．
（2）第一次過(guò)B點(diǎn)向下的速度v_B1，第一次返回B點(diǎn)向上的速度大小也為v_B1，沖至最高點(diǎn)A₁，設(shè)A₁至B的距離為L(zhǎng)₁
A 至 B：mgLsin37°-μmgcos37°?L=

1

2

m

v

2 B1

B至A₁：-mgL1sin37°-μmgcos37°?L1=0-

1

2

m

v

2 B1

得：L1=

sin37°-μcos37°

sin37°+μcos37°

L．
同理，第n次返回最高處A_n時(shí)，A_nB的距離L_n
Ln=(

sin37°-μcos37°

sin37°+μcos37°

)nL=

1

2n

L
第n次向下過(guò)B點(diǎn)的速度v_Bn
從A_n-1至B：mgLn-1?sin37°-μmgcos37°?Ln-1=

1

2

m

v

2 Bn

得：vBn=

2g(sin37°-μcos37°)Ln-1

假設(shè)物塊以v_Bn向下過(guò)B點(diǎn)后不能到達(dá)D，則有：

1

2

m

v

2 Bn

＜mgRcos37°
得L_n-1＜1
即

1

2n-1

L＜1，顯然n取3、4、5…，滑塊不能達(dá)到D點(diǎn)
也即當(dāng)n取2時(shí)，滑塊能過(guò)D點(diǎn)，所以，滑塊共經(jīng)過(guò)D點(diǎn)4次． 
答：（1）物塊P第一次通過(guò)C點(diǎn)時(shí)的速度大小為

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m/s．在C點(diǎn)處對(duì)軌道的壓力為6.2N．
（2）物塊P經(jīng)過(guò)D點(diǎn)的次數(shù)為4次．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵理清物塊的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，結(jié)合動(dòng)能定理進(jìn)行求解，本題對(duì)數(shù)學(xué)能力的要求較高，知道物塊不能到達(dá)D點(diǎn)的條件，結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行求解．