Question

9．宇航員站在一星球表面上的某高處，沿水平方向拋出一個(gè)小球．經(jīng)過時(shí)間t，小球落到星球表面，測(cè)得拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)之間的距離為L(zhǎng)，若拋出時(shí)的初速度增大到2倍，則拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)之間的距離為$\sqrt{3}$L．已知兩落地點(diǎn)在同一水平面上，該星球的半徑為R，引力常量為G，則：
（1）若在該星球上發(fā)射衛(wèi)星，求最小的發(fā)射速度；
（2）該球星的平均密度為多大？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，知初速度增大到2倍，則水平位移也增大2倍，結(jié)合幾何關(guān)系求出小球落地的高度，通過平拋運(yùn)動(dòng)豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律求出重力加速度的大小，結(jié)合萬(wàn)有引力等于重力求出月球的質(zhì)量M，衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力提供向心力，應(yīng)用牛頓第二定律求出最小發(fā)生速度．
（2）應(yīng)用密度公式求出星球的平均密度．

解答 解：（1）設(shè)拋出點(diǎn)的高度為h，第一次平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移為x，則：x²+h²=L²
若拋出的初速度為2倍時(shí)，則水平位移為2x   因此有：（2x）²+h²=（$\sqrt{3}$L）²
設(shè)該星球表面的重力加速度為g'，則：h=$\frac{1}{2}$g′t²，
而在該星球表面上，有：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg′，解得，星球質(zhì)量：M=$\frac{2\sqrt{3}L{R}^{2}}{3G{t}^{2}}$；
萬(wàn)有引力提供向心力，由牛頓第二定律得：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：v=$\sqrt{\frac{2\sqrt{3}LR}{3{t}^{2}}}$；
（2）星球的平均密度：ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{\frac{2\sqrt{3}L{R}^{2}}{3G{t}^{2}}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{\sqrt{3}L}{2πRG{t}^{2}}$；
答：（1）若在該星球上發(fā)射衛(wèi)星，最小的發(fā)射速度是$\sqrt{\frac{2\sqrt{3}LR}{3{t}^{2}}}$；
（2）該球星的平均密度為$\frac{\sqrt{3}L}{2πRG{t}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了平拋運(yùn)動(dòng)和萬(wàn)有引力的綜合，知道平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向上和豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，以及掌握萬(wàn)有引力等于重力這一理論，并能靈活運(yùn)用．