Question

3．如圖所示，在豎直方向上A、B兩物體通過勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧相連，A放在水平地面上；B、C兩物體通過一不可伸長(zhǎng)的細(xì)繩繞過輕質(zhì)定滑輪相連，C放在固定的傾角為30°斜面上，C物體與斜面的滑動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$．用手拿住物體C，使細(xì)線剛剛拉直但無拉力作用，并保證ab段的細(xì)線豎直、cd段的細(xì)線與斜面平行．已知A、B的質(zhì)量均為m，重力加速度為g，細(xì)線與滑輪之間的摩擦不計(jì)，開始時(shí)整個(gè)系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)．釋放C后它沿斜面下滑，斜面足夠長(zhǎng)，A剛離開地面時(shí)，B獲得最大速度，求：
（1）從釋放C到物體A剛離開地面時(shí)，物體C沿斜面下滑的距離；
（2）C物體的質(zhì)量是B物體質(zhì)量的多少倍？
（3）B的最大速度v_Bm．

Answer 1

分析 （1）A剛離開地面時(shí)，物體C沿斜面下滑的距離應(yīng)該等于彈簧原來被壓縮的長(zhǎng)度再加上后來彈簧被拉長(zhǎng)的長(zhǎng)度，被壓縮和被拉長(zhǎng)的長(zhǎng)度可以根據(jù)胡克定律求得；
（2）B獲得最大速度時(shí)，B應(yīng)該處于受力平衡狀態(tài)，對(duì)B受力分析C和B的質(zhì)量大小關(guān)系；
（3）對(duì)于整個(gè)系統(tǒng)機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒列出方程就可以求得B的最大速度．

解答 解：（1）設(shè)開始時(shí)彈簧壓縮的長(zhǎng)度為x_B得：kx_B=mg  
設(shè)當(dāng)物體A剛剛離開地面時(shí)，彈簧的伸長(zhǎng)量為x_A，得：kx_A=mg    
當(dāng)物體A剛離開地面時(shí)，物體B上升的距離以及物體C沿斜面下滑的距離為：s=x_A+x_B=$\frac{2mg}{k}$
（2）物體A剛剛離開地面時(shí)，以B為研究對(duì)象，物體B受到重力mg、彈簧的彈力kx_A、細(xì)線的拉力T三個(gè)力的作用，設(shè)C的質(zhì)量為M，物體B的加速度為a，根據(jù)牛頓第二定律，對(duì)B有：T-mg-kx_A=ma
對(duì)C有：Mgsin30°-F_f-T=Ma
F_f=μF_N
F_N=Mgcos30°
由上述公式整理得得：Mgsinα-2mg-μMgcosα=（M+m）a
當(dāng)B獲得最大速度時(shí)，有：a=0
由以式子可解得M=8m
（3）由于x_A=x_B，彈簧處于壓縮狀態(tài)和伸長(zhǎng)狀態(tài)時(shí)的彈性勢(shì)能相等，彈簧彈力做功為零，且物體A剛剛離開地面時(shí)，B、C兩物體的速度相等，設(shè)為v_Bm，
對(duì)于B由動(dòng)能定理得$（T-mg）h=\frac{1}{2}m{v}_{Bm}^{2}$
對(duì)于C由動(dòng)能定理得$（Mgsin30°-{F}_{f}-T）h=\frac{1}{2}M{v}_{Bm}^{2}$
整理得Mgsin30°•h-mgh-μMgcos30°•h=$\frac{1}{2}（M+m）{v}_{Bm}^{2}$
由以上式子，可解得：${v}_{Bm}=\frac{2}{3}g\sqrt{\frac{m}{k}}$．
答：（1）從釋放C到物體A剛離開地面時(shí)，物體C沿斜面下滑的距離為$\frac{2mg}{k}$；
（2）C物體的質(zhì)量是B物體質(zhì)量的8倍；
（3）B的最大速度v_Bm為$\frac{2}{3}g\sqrt{\frac{m}{k}}$．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于機(jī)械能守恒定律，有多個(gè)表達(dá)式，可以用初態(tài)的機(jī)械能等于末態(tài)的機(jī)械能，也可以用動(dòng)能的增加等于勢(shì)能的減少，對(duì)于第一種表達(dá)式要選取零勢(shì)能面，第二種由于用的它們的差值的大小，所以不用取零勢(shì)能面，在解題時(shí)要注意公式的選擇．