Question

2．如圖所示，用長(zhǎng)為L(zhǎng)的絕緣輕桿連接兩個(gè)質(zhì)量均為m的帶電小球A和B置于光滑絕緣的水平面上，A球的帶電量為+2q，B球的帶電量為-3q，構(gòu)成一個(gè)帶電系統(tǒng)（它們均可視為質(zhì)點(diǎn)，也不考慮兩者間相互作用的庫(kù)侖力）．現(xiàn)讓小球A處在有界勻強(qiáng)電場(chǎng)區(qū)域MPNQ內(nèi)．已知虛線MP位于細(xì)桿的中垂線上，虛線NQ與MP平行且間距足夠長(zhǎng)．勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E，方向水平向右．釋放帶電系統(tǒng)，讓它從靜止開始運(yùn)動(dòng)，忽略帶電系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所產(chǎn)生的磁場(chǎng)影響．
求：（1）帶電系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的最大速度為多少？
（2）帶電系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，B球電勢(shì)能增加的最大值多少？
（3）帶電系統(tǒng)回到初始位置所用時(shí)間為多少？

Answer 1

分析 （1）小球B剛進(jìn)入電場(chǎng)帶電系統(tǒng)具有最大速度，根據(jù)動(dòng)能定理求出帶電系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的最大速度；
（2）當(dāng)帶電系統(tǒng)速度第一次為零，B克服電場(chǎng)力做功最多，B增加的電勢(shì)能最多，根據(jù)動(dòng)能定理求出B運(yùn)動(dòng)的最大位移，結(jié)合電場(chǎng)力做功求出電勢(shì)能增加量的最大值．
（3）根據(jù)牛頓第二定律，結(jié)合位移時(shí)間公式求出帶電系統(tǒng)由靜止釋放到小球B剛進(jìn)入電場(chǎng)的過(guò)程中的時(shí)間，再根據(jù)牛頓第二定律和速度時(shí)間公式求出系統(tǒng)勻減速運(yùn)動(dòng)到零的時(shí)間，結(jié)合對(duì)稱性求出帶電系統(tǒng)回到初始位置所用時(shí)間．

解答 解：（1）小球B剛進(jìn)入電場(chǎng)帶電系統(tǒng)具有最大速度，從釋放帶電系統(tǒng)到小球B剛進(jìn)入電場(chǎng)的過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理有：2qE$•\frac{1}{2}$L=$\frac{1}{2}$•2m${v}_{max}^{2}$-0
v_max=$\sqrt{\frac{qEL}{m}}$．
（2）當(dāng)帶電系統(tǒng)速度第一次為零，B克服電場(chǎng)力做功最多，B增加的電勢(shì)能最多
設(shè)B球在電場(chǎng)中的最大位移為x，由動(dòng)能定理得：2qE（$\frac{L}{2}$+x）-3qEx=0-0
得：x=L
所以B電勢(shì)能增加的最大值為：W₁=3qE×L=3qEL
（3）設(shè)帶電系統(tǒng)由靜止釋放到小球B剛進(jìn)入電場(chǎng)的過(guò)程中，帶電系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₁，則有：$\frac{1}{2}$L=$\frac{1}{2}$a₁${t}_{1}^{2}$
其中：a₁=$\frac{qE}{m}$，
解得t₁=$\sqrt{\frac{mL}{qE}}$
末速度v=a₁t₁
又設(shè)小球B進(jìn)入電場(chǎng)后至系統(tǒng)速度為零的過(guò)程中，帶電系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₂，
其中：a₂=$\frac{qE}{2m}$
解得t₂=$\frac{v}{{a}_{2}}$=2t₁=2$\sqrt{\frac{mL}{qE}}$
根據(jù)對(duì)稱性可知，帶電系統(tǒng)從出發(fā)點(diǎn)回到出發(fā)點(diǎn)的過(guò)程中所用總時(shí)間為：t=2t₁+2t₂
解得：t=6$\sqrt{\frac{mL}{qE}}$．
答：（1）帶電系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的最大速度為$\sqrt{\frac{qEL}{m}}$．
（2）帶電系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，B球電勢(shì)能增加的最大值為3qEL；
（3）帶電系統(tǒng)回到初始位置所用時(shí)間為6$\sqrt{\frac{mL}{qE}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)能定理和牛頓第二定律的綜合，選擇系統(tǒng)為研究對(duì)象，運(yùn)用動(dòng)能定理和牛頓第二定律進(jìn)行求解，知道系統(tǒng)向右運(yùn)動(dòng)的過(guò)程和向左運(yùn)動(dòng)的過(guò)程具有對(duì)稱性．