Question

如圖為某種魚餌自動投放器中的投餌管裝置示意圖,其下半部AB是一長為2R的豎直細(xì)管,上半部BC是半徑為R的四分之一圓弧彎管,管口沿水平方向,AB管內(nèi)有一原長為R、下端固定的輕質(zhì)彈簧.投餌時,每次總將彈簧長度壓縮到0.5R后鎖定,在彈簧上端放置一粒魚餌,解除鎖定,彈簧可將魚餌彈射出去.設(shè)質(zhì)量為m的魚餌到達(dá)管口C時,對管壁的作用力恰好為零.不計魚餌在運動過程中的機(jī)械能損失,且鎖定和解除鎖定時,均不改變彈簧的彈性勢能.已知重力加速度為g.求:

 (1)質(zhì)量為m的魚餌到達(dá)管口C時的速度大小;

(2)彈簧壓縮到0.5R時的彈性勢能;

(3)已知地面與水面相距1.5R,若使該投餌管繞AB管的中軸線OO′在90角的范圍內(nèi)來回緩慢轉(zhuǎn)動,每次彈射時只放置一粒魚餌,魚餌的質(zhì)量在到m之間變化,且均能落到水面.持續(xù)投放足夠長時間后,魚餌能夠落到水面的最大面積S是多少?

Answer 1

【解析】 (1)質(zhì)量為m的魚餌到達(dá)管口C時做圓周運動的向心力完全由重力提供,則mg=

由①式解得.②  (1分)

(2)彈簧的彈性勢能全部轉(zhuǎn)化為魚餌的機(jī)械能,由機(jī)械能守恒定律有

Emg(1.③  (2分)

由②③式解得EmgR.④  (1分)

(3)不考慮因緩慢轉(zhuǎn)動裝置對魚餌速度大小的影響,質(zhì)量為m的魚餌離開管口C后做平拋運動,設(shè)經(jīng)過t時間落到水面上,離OO′的水平距離為x由平拋運動規(guī)律有4.5Rgt  ⑤

⑥  (2分)

由⑤⑥式解得⑦  (1分)

當(dāng)魚餌的質(zhì)量為m時,設(shè)其到達(dá)管口C時速度大小為,由機(jī)械能守恒定律有

Emg(1.5⑧  (2分)

由④⑧式解得v⑨  (1分)

質(zhì)量為m的魚餌落到水面上時,設(shè)離OO′的水平距離為x則⑩  (1分)

由⑤⑨⑩式解得xR  (1分)

魚餌能夠落到水面的最大面積

SxR或8.R.  (1分)

【答案】 (1)  (2)3mgR  (3)8.R