Question

3．如圖所示，兩足夠長的平等光滑金屬導(dǎo)軌安裝在一傾角為θ的光滑絕緣斜面上，導(dǎo)軌間距為L，電阻忽略不計(jì)，一寬度為d的有界勻強(qiáng)磁場垂直于斜面向上，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，另有一長為2d的絕緣桿將一導(dǎo)體棒和一邊長為d（d＜L）的正方形導(dǎo)線框連在一起組成固定裝置．總質(zhì)量為m，導(dǎo)體棒中通有大小恒溫I的電流，將該裝置置于導(dǎo)軌上，開始時導(dǎo)體棒恰好位于磁場的下邊界處，由靜止釋放后裝置沿斜面向上運(yùn)動，當(dāng)線框的下邊運(yùn)動到磁場的上邊界MN處時裝置的速度恰好為零．重力加速度大小為g．
（1）求剛釋放時裝置加速度的大��；
（2）求上述運(yùn)動過程中線框中產(chǎn)生的熱量；
（3）裝置速度為零后將向下運(yùn)動，然后再向上運(yùn)動，經(jīng)過若干次往返，最終裝置將在斜面上做穩(wěn)定的往復(fù)運(yùn)動，求穩(wěn)定后裝置運(yùn)動的最高位置與最低位置之間的距離．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)裝置的受力情況，由牛頓第二定律求加速度的大小．
（2）在運(yùn)動過程中裝置的動能變化量為零，根據(jù)動能定理求出克服安培力做功，即可得到產(chǎn)生的熱量．
（3）穩(wěn)定后，裝置運(yùn)動到最高位置與最低位置的速度，由動能定理可求得最低位置時金屬棒距離上邊界的距離．裝置往復(fù)運(yùn)動的最高位置：線框的上邊位于磁場的下邊界，此時導(dǎo)體棒距磁場上邊界d，可得裝置運(yùn)動的最高位置與最低位置之間的距離為x+d．

解答 解：（1）剛釋放時，根據(jù)牛頓第二定律得 ma=BIL-mgsinθ　　　　　　　　　　　　　　　　　　
可得加速度大小為 a=$\frac{BIL}{M}$-gsinθ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（2）設(shè)裝置由靜止釋放到線框的下邊運(yùn)動到磁場的上邊界MN的過程中，安培力對線框做功的大小為W，根據(jù)動能定理有：
 0-0=BILd-mgsinθ•4d-W　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 
解得 W=BILd-4mgdsinθ　　　　　　　　　　　　　　　　　　
線框中產(chǎn)生的熱量 Q=W=BILd-4mgdsinθ 　　　　　　　　　　
（3）裝置往復(fù)運(yùn)動的最高位置：線框的上邊位于磁場的下邊界，此時導(dǎo)體棒距磁場上邊界d；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
往復(fù)運(yùn)動到最低位置時，金屬棒在磁場內(nèi)，設(shè)距離上邊界為x，則功能關(guān)系得
 mgsinθ•（x+d）=BIL•x   　　　　　　　　　　　　　　　　　 
可解出x=$\frac{mgdsinθ}{BIL-mgsinθ}$    　　　　　　　　　　　　　　　　　
裝置運(yùn)動的最高位置與最低位置之間的距離為
x+d=$\frac{mgdsinθ}{BIL-mgsinθ}$+d=$\frac{BILd}{BIL-mgsinθ}$
答：（1）剛釋放時裝置加速度的大小是$\frac{BIL}{M}$-gsinθ；
（2）上述運(yùn)動過程中線框中產(chǎn)生的熱量是BILd-4mgdsinθ．
（3）裝置運(yùn)動的最高位置與最低位置之間的距離為$\frac{BILd}{BIL-mgsinθ}$．

點(diǎn)評 當(dāng)線框產(chǎn)生感應(yīng)電流時，由安培力做功從而產(chǎn)生熱量．因安培力不恒定，所以運(yùn)用動能定理求安培力做功從而得產(chǎn)生的熱量，也可利用能量守恒定律解題．