Question

19．如圖所示，帶電平行板電容器水平放置，其中M板帶負電，板長2$\sqrt{3}$a，兩板間距2a，O₁O是電容器的中軸線，坐標系xoy的x軸和O₁O共線，y軸緊靠電容器的右側；一個質量為m、帶電量為+q的粒子以速度v₀沿O₁O進入電容器兩板之間，恰好沿M板的右側射出兩板之間，之后粒子繼續(xù)運動一段時間進入一個矩形勻強磁場區(qū)域（圖中未畫出），又從y軸上的某位置O₂處沿y軸負方向運動并再次經(jīng)過M板的右側，已知磁場方向垂直xoy平面（紙面）向里，磁場感應強度大小為B，不計粒子的重力和電器容板外電場的影響．求：
（1）電容器兩板間電場強度的大�。�
（2）O₂點的縱坐標值；
（3）矩形磁場的最小面積．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在電場中做類平拋運動，根據(jù)牛頓運動定律和運動學公式即可求解．
（2）粒子在磁場中勻速圓周運動，根據(jù)洛侖茲力提供向心力及幾何關系列式求解．
（3）作出最小磁場區(qū)域，根據(jù)幾何關系求解

解答 解：（1）帶電粒子在電場中做類平拋運動，根據(jù)牛頓第二定律qE=ma
得$a=\frac{qE}{m}$
水平方向：$2\sqrt{3}a={v}_{0}^{\;}t$
豎直方向：$a=\frac{1}{2}a{t}_{\;}^{2}$
聯(lián)立以上各式得$E=\frac{m{v}_{0}^{2}}{6qa}$
（2）畫出粒子在磁場中運動的軌跡圖，設${O}_{2}^{\;}$點的縱坐標值為y
粒子在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
得$R=\frac{mv}{qB}$
$tanθ=\frac{a}{\sqrt{3}a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$知θ=30°
根據(jù)幾何關系有$tan30°=\frac{R}{y}$
粒子進入磁場速度$v=\frac{{v}_{0}^{\;}}{cos30°}$
聯(lián)立以上各式得$y=\frac{2m{v}_{0}^{\;}}{qB}$
即${O}_{2}^{\;}$點的縱坐標值為$\frac{2m{v}_{0}^{\;}}{qB}$
（3）最小磁場區(qū)域如圖
S=2R（R+Rsin30°）=$3{R}_{\;}^{2}$=$3（\frac{mv}{qB}）_{\;}^{2}$=$\frac{4{m}_{\;}^{2}{v}_{0}^{2}}{{q}_{\;}^{2}{B}_{\;}^{2}}$
答：（1）電容器兩板間電場強度的大小$\frac{m{v}_{0}^{2}}{6qB}$；
（2）O₂點的縱坐標值$\frac{2m{v}_{0}^{\;}}{qB}$；
（3）矩形磁場的最小面積$\frac{4{m}_{\;}^{2}{v}_{0}^{2}}{{q}_{\;}^{2}{B}_{\;}^{2}}$．

點評 本題考查了帶電粒子在電磁場中的運動，畫出運動軌跡，理清運動過程是解題關鍵，本題求最小磁場面積有一定難度，注意總結解題方法．