Question

11．如圖所示，在兩塊水平金屬極板間加上電壓U構(gòu)成偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)（電場(chǎng)只存在金屬極板正對(duì)區(qū)域內(nèi)），一束比荷為$\frac{q}{m}$=10⁶C/kg帶正電的粒子流（重力不計(jì)），以速度v₀=10⁴m/s沿水平方向從兩金屬極板正中間射入．粒子經(jīng)電場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后進(jìn)入一具有理想邊界的半圓形變化磁場(chǎng)區(qū)域，O為圓心，磁場(chǎng)區(qū)域直徑AB長(zhǎng)度為L(zhǎng)=1m，AB與水平方向成30°角．區(qū)域內(nèi)有按如圖所示規(guī)律作周期性變化的磁場(chǎng)，已知B₀=0.5T，磁場(chǎng)方向以垂直于紙面向外為正．粒子經(jīng)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)后，恰好從下極板邊緣O點(diǎn)與水平方向成60°斜向下射入磁場(chǎng)．求：

（1）兩金屬極板間的電壓U是多大？
（2）若T₀=0.5s，求t=0s時(shí)刻射入磁場(chǎng)的帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t和離開(kāi)磁場(chǎng)的位置；
（3）要使所有帶電粒子通過(guò)O點(diǎn)后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不再?gòu)腁B兩點(diǎn)間越過(guò)，求出磁場(chǎng)的變化周期T₀應(yīng)滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）由幾何關(guān)系可求得粒子射出時(shí)的速度，再由動(dòng)能定理可求得金屬板的電壓；
（2）由洛侖茲力充當(dāng)向心力可求得粒子的周期和半徑，分析粒子在哪一時(shí)間段內(nèi)離開(kāi)磁場(chǎng)，則可求出射出磁場(chǎng)的時(shí)間和位置；
（3）由題意得出相應(yīng)的幾何關(guān)系，再由符合的條件，從而得出磁場(chǎng)變化周期的條件．

解答 解：（1）粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，射出電場(chǎng)時(shí)速度方向與水平方向成30°，
所以從O點(diǎn)射出時(shí)速度v=2v₀；
由動(dòng)能定理可得：q$\frac{U}{2}$=$\frac{1}{2}$m（2v₀）²-$\frac{1}{2}$mv₀²，
代入數(shù)據(jù)解得：U=300V；
（2）周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，$\frac{T}{2}$=$\frac{πm}{qB}$=2π×10^-6s＜$\frac{{T}_{0}}{2}$，
r=$\frac{mv}{qB}$=0.02$\sqrt{3}$m＜$\frac{L}{4}$；
粒子在磁場(chǎng)中經(jīng)過(guò)半周從OB中穿出，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=$\frac{T}{2}$=2π×10^-6s
射出點(diǎn)在AB間離O點(diǎn)0.04$\sqrt{3}$m；
（3）粒子運(yùn)動(dòng)周期：T=$\frac{2πm}{qB}$=4π×10^-6s，粒子在t=0、t=$\frac{{T}_{0}}{2}$等時(shí)刻射入時(shí)，粒子最可能從AB間射出．
如圖，由幾何關(guān)系可得臨界時(shí)θ=$\frac{5π}{6}$，
要不從AB邊界射出，應(yīng)滿足$\frac{{T}_{0}}{2}$＜$\frac{θ}{2π}$，解得：T₀＜$\frac{π}{3}$×10^-5s，
答：
（1）兩金屬極板間的電壓U是300V；
（2）射出點(diǎn)在AB間離O點(diǎn)0.04$\sqrt{3}$m；
（3）出磁場(chǎng)的變化周期T₀應(yīng)滿足的條件為T₀＜$\frac{π}{3}$×10^-5s．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)及在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵問(wèn)題在于圓心、半徑及運(yùn)動(dòng)過(guò)程的分析；同時(shí)注意本題磁場(chǎng)為變化磁場(chǎng)，要注意其對(duì)粒子運(yùn)動(dòng)帶來(lái)的影響．