Question

投籃游戲是常見(jiàn)的娛樂(lè)項(xiàng)目，圖中即是投籃游戲的簡(jiǎn)化示意圖．ABCDE為一固定于地面的籃筐，假設(shè)BCD為一半徑為R的光滑圓弧面，C為圓弧的最低點(diǎn)，BD的連接與水平地面平行，∠BOD=120°，AB與圓弧BCD相切于B點(diǎn)，DE與圓弧BCD相切于D點(diǎn)．一質(zhì)量為m的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）從某位置拋出，恰好沿AB進(jìn)入軌道，已知AB、DE兩點(diǎn)間距離均為2R，小物快與AB、DE間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為

1

3

，重力加速度為g，已知小物塊第一次經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)的速度大小為

3gR

，求：
（1）小物塊第一次經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)對(duì)C點(diǎn)的壓力；
（2）足夠長(zhǎng)時(shí)間后，小物塊在AB段和DE段經(jīng)歷的總路程s．

Answer 1

分析：（1）從B到C，只有重力做功，由機(jī)械能守恒定律或動(dòng)能定理求出小物塊運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的速度大小，再由牛頓第二定律結(jié)合向心力公式可求出第一次經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)對(duì)C點(diǎn)的壓力；
（2）小物塊只有在AB與DE面上運(yùn)動(dòng)才有機(jī)械能損失，因此只有當(dāng)小物塊到達(dá)B點(diǎn)或D點(diǎn)的速度為零時(shí)，將只會(huì)在BCD間來(lái)回往復(fù)運(yùn)動(dòng)，且永不停息．所以由動(dòng)能定理可求出小物塊所經(jīng)歷的總路程．

解答：解：（1）從B到C，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有：
 

1

2

mv

2 B

+

1

2

mgR=

1

2

m

v

2 C

在C點(diǎn)，由牛頓第二定律有：
F_C-mg=m

v 2 C

R

解得：F_C=5mg
根據(jù)牛頓第三定律，物塊對(duì)C點(diǎn)的壓力為：F_C′=5mg
（2）由于

1

2

mv

2 B

＜mg?2Rsin60°+μmgcos60°?2R
即小球不會(huì)脫離籃筐，最終在BD間往復(fù)運(yùn)動(dòng)，從第一次到B點(diǎn)至最終的B點(diǎn)，根據(jù)動(dòng)能定理，
-μmgcos60°?s=0-

1

2

m

v

2 B

解得：s=9R
答：（1）小物塊第一次經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)對(duì)C點(diǎn)的壓力5mg；
（2）足夠長(zhǎng)時(shí)間后，小物塊在AB段和DE段經(jīng)歷的總路程s為9R．

點(diǎn)評(píng)：考查動(dòng)能定理，牛頓第二定律，向心力公式的應(yīng)用，關(guān)鍵值得注意：只有當(dāng)小物塊到達(dá)B點(diǎn)或D點(diǎn)速度為零時(shí)，才不會(huì)越上粗糙斜面．