Question

13．設(shè)在地球上對(duì)準(zhǔn)月球發(fā)射一枚飛行器．該飛行器離開地球表面不久燃料就用盡并達(dá)到最大速度，以后靠慣性飛向月球且到達(dá)了月球．設(shè)地球質(zhì)量為M₁，月球質(zhì)量為M₂，地球與月球的球心距離為L(zhǎng)，不考慮地球自轉(zhuǎn)及月球公轉(zhuǎn)的影響，則當(dāng)火箭離地球球心距離為$\frac{\sqrt{{M}_{1}}}{\sqrt{{M}_{1}}+\sqrt{{M}_{2}}}L$時(shí)，火箭的速度最�。�

Answer 1

分析 飛行器無(wú)動(dòng)力飛向月球時(shí)，受到地球引力和月球引力的作用，地球引力對(duì)其做負(fù)功，月球引力對(duì)其做正功，當(dāng)?shù)厍蛞�力大于月球引力時(shí)，合力做負(fù)功，飛行器動(dòng)能減小，動(dòng)能減小，若月球引力大于地球引力時(shí)，合力做正功，飛行器動(dòng)能增大，速度增大．由此可知，飛行器速度最小時(shí)，地球引力與月球引力大小相等．

解答 解：由題意知，飛行器飛向月球時(shí)，當(dāng)?shù)厍蛞�力與月球引力大小相等時(shí)，飛行器的速度最小，令此時(shí)飛行器距地球距離為x，則飛行器距月球距離為L(zhǎng)-x，根據(jù)萬(wàn)有引力定律有：
$G\frac{{M}_{1}m}{{x}^{2}}=G\frac{{M}_{2}m}{（L-x）^{2}}$
由此解得：x=$\frac{\sqrt{{M}_{1}}}{\sqrt{{M}_{1}}+\sqrt{{M}_{2}}}L$
故答案為：$\frac{\sqrt{{M}_{1}}}{\sqrt{{M}_{1}}+\sqrt{{M}_{2}}}L$

點(diǎn)評(píng) 本題抓住飛行器無(wú)動(dòng)力飛行，合外力做正功飛行器的速度增大，合外力做負(fù)功飛行器的速度減小，由于飛行器從地球起飛，故開始時(shí)地球引力大于月球引力，合外力做負(fù)功，動(dòng)能減小，速度減小，據(jù)此得到速度最小時(shí)的臨界條件是地球和月球?qū)ζ涞囊�力大小相等�?/p>