Question

20．如圖所示，一個(gè)豎直放置的圓錐筒可繞其中心軸OO′勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，筒口半徑和筒高之比為4：3，筒內(nèi)壁粗糙、內(nèi)壁上有一質(zhì)量為m的小物塊A，與內(nèi)壁之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.5，距筒底的高度為H，當(dāng)圓筒轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，以下角速度中，可以使物體與圓筒間有靜摩擦力且靜摩擦力方向沿簡壁向下的是（　�。�

• A． $\sqrt{\frac{g}{2H}}$
• B． $\sqrt{\frac{5g}{8H}}$
• C． $\sqrt{\frac{3g}{2H}}$
• D． $\sqrt{\frac{2g}{H}}$

Answer 1

分析 當(dāng)物塊在A點(diǎn)隨筒做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，且其受到的摩擦力為零時(shí)，由重力和支持力的合力提供物塊的向心力，由牛頓第二定律求解．
當(dāng)角速度最大時(shí)筒壁對(duì)物塊的最大靜摩擦力沿筒壁向下，由牛頓第二定律列式求解．

解答 解：由于筒口半徑和筒高之比為4：3，有幾何關(guān)系可知，筒內(nèi)壁與豎直方向之間的夾角θ滿足：
tanθ=$\frac{r}{h}=\frac{4}{3}$
所以：θ=53°
當(dāng)物塊在A點(diǎn)隨筒做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，且其受到的摩擦力為零時(shí)，由重力和支持力的合力提供物塊水平方向的向心力，由牛頓第二定律得：
mgtanθ=mω²r
其中：r=Htanθ
可得：ω=$\sqrt{\frac{g}{H}}$
當(dāng)角速度最大時(shí)筒壁對(duì)物塊的最大靜摩擦力沿筒壁向下，由牛頓第二定律，
豎直方向有：Ncosθ=fsinθ+mg
水平方向有：Nsinθ+fcosθ=mω_m²r
又 f=μN(yùn)
聯(lián)立得：ω_m=$\sqrt{\frac{3g}{2H}}$
最大角速度不能超過$\sqrt{\frac{3g}{2H}}$．
所以：可以使物體與圓筒間有靜摩擦力且靜摩擦力方向沿簡壁向下時(shí)：$\sqrt{\frac{g}{H}}$＜ω≤$\sqrt{\frac{3g}{2H}}$
只有C選項(xiàng)符合題意．
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題是圓錐擺類型．關(guān)于向心力應(yīng)用的基本方程是：指向圓心的合力等于向心力，其實(shí)是牛頓第二定律的特例．