Question

10．如圖所示，相距均為L的光滑傾斜導(dǎo)軌MN、PQ與光滑水平導(dǎo)軌NS、QT連接，水平導(dǎo)軌處在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向豎直向上的勻強(qiáng)磁場中．光滑傾斜導(dǎo)軌處在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小也為B，方向垂直于傾斜導(dǎo)軌平面斜向下的勻強(qiáng)磁場中，如圖．質(zhì)量均為m、電阻均為R的金屬導(dǎo)體棒ab、cd垂直于導(dǎo)軌分別放在傾斜導(dǎo)軌和水平導(dǎo)軌上，并與導(dǎo)軌接觸良好，不計(jì)導(dǎo)軌電阻．現(xiàn)用絕緣細(xì)線通過定滑輪將金屬導(dǎo)體棒ab、cd連接起來．質(zhì)量為2m的物體C用絕緣細(xì)線通過定滑輪與金屬導(dǎo)體棒cd連接．細(xì)線沿導(dǎo)軌中心線且在導(dǎo)軌平面內(nèi)，細(xì)線及滑輪質(zhì)量、滑輪摩擦均不計(jì)．已知傾斜導(dǎo)軌與水平面的夾角θ=30⁰，重力加速度為g，導(dǎo)軌足夠長，導(dǎo)體棒ab始終不離開傾斜導(dǎo)軌，導(dǎo)體棒cd始終不離開水平導(dǎo)軌．物體C由靜止釋放，當(dāng)它達(dá)到最大速度時(shí)下落高度h=$\frac{{m}^{2}g{R}^{2}}{{B}^{4}{L}^{4}}$，試求這一運(yùn)動過程中：
（1）物體C能達(dá)到的最大速度V_m是多少？
（2）金屬棒ab產(chǎn)生的焦耳熱是多少？
（3）連接ab棒的細(xì)線對ab棒做的功是多少？

Answer 1

分析 （1）由靜止釋放M，ab棒先向上做加速運(yùn)動，cd棒在水平方向做加速運(yùn)動，隨著速度增大，產(chǎn)生的感應(yīng)電流增大，所受的安培力增大，加速度減小，當(dāng)加速度為零時(shí)做勻速運(yùn)動，速度就達(dá)到最大值．根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律推導(dǎo)出安培力與速度的關(guān)系式，結(jié)合平衡條件求解最大速度．
（2）在ab棒和cd棒從開始運(yùn)動到勻速運(yùn)動的過程中，系統(tǒng)的重力勢能減小，轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)增加的動能和焦耳熱，根據(jù)能量守恒求出總的焦耳熱，再由焦耳定律求電阻ab上產(chǎn)生的熱量．
（3）對導(dǎo)體棒ab，這一過程中細(xì)線對其做的功為W，轉(zhuǎn)化為棒的動能、重力勢能和產(chǎn)生的內(nèi)能，則由能的轉(zhuǎn)化和守恒定律即可求得結(jié)果．

解答 解：（1）設(shè)C達(dá)到的最大速度為v_m，由法拉弟電磁感應(yīng)定律得回路的感應(yīng)電動勢為：E=2BLv_m…①
由歐姆定律得回路中的電流強(qiáng)度為：I=$\frac{E}{2R}$…②
金屬導(dǎo)體棒ab、cd受到的安培力為：F=BIL…③
設(shè)連接金屬導(dǎo)體棒ab與cd的細(xì)線中張力為T₁，連接金屬導(dǎo)體棒cd與物體C的細(xì)線中張力為T₂，導(dǎo)體棒ab、cd及物體C的受力如圖：由平衡條件得：

T₁=mgsin30°+F，
T₂=T₁+F，
T₂=2mg…④
聯(lián)立①②③④解得：${v}_{m}=\frac{3mgR}{4{B}^{2}{L}^{2}}$…⑤
（2）對物體C、導(dǎo)體棒ab、導(dǎo)體棒cd組成的系統(tǒng)，由于導(dǎo)體棒ab、cd的電阻相等，流過的電流時(shí)刻相等，故兩棒產(chǎn)生的內(nèi)能E相等．由能的轉(zhuǎn)化和守恒定律得：

 $2mgh=\frac{1}{2}×2m{v}_{m}^{2}+\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}+mghsin30°+2E$…⑥
聯(lián)立⑤⑥將h=$\frac{{m}^{2}g{R}^{2}}{{B}^{4}{L}^{4}}$代入解得：E=$\frac{3{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{16{B}^{4}{L}^{4}}$…⑦
（3）對導(dǎo)體棒ab，設(shè)這一過程中細(xì)線對其做的功為W，則由能的轉(zhuǎn)化和守恒定律得：
W=mghsin30°+$\frac{1}{2}m{v}^{2}+E$…⑧
聯(lián)立⑤⑦⑧三式解得：W=$\frac{31{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{32{B}^{4}{L}^{4}}$      
答：（1）物體C能達(dá)到的最大速度V_m是$\frac{3mgR}{4{B}^{2}{L}^{2}}$；
（2）金屬棒ab產(chǎn)生的焦耳熱是$\frac{3{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{16{B}^{4}{L}^{4}}$；
（3）連接ab棒的細(xì)線對ab棒做的功是$\frac{31{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{32{B}^{4}{L}^{4}}$．

點(diǎn)評 本題有兩個(gè)關(guān)鍵：一是推導(dǎo)安培力與速度的關(guān)系；二是對物體C、導(dǎo)體棒ab、導(dǎo)體棒cd組成的系統(tǒng)，由于導(dǎo)體棒ab、cd的電阻相等，流過的電流時(shí)刻相等，故兩棒產(chǎn)生的內(nèi)能E相等，對于它們的結(jié)果要理解記牢，有助于分析和處理電磁感應(yīng)的問題．