Question

5．如圖，水平傳送帶上表面的右側(cè)，與一個(gè)豎直的光滑半圓軌道底端相接，在半圓軌道下端O放一質(zhì)量為m的滑塊A，傳送帶以速率v₀沿順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，現(xiàn)在傳送帶的左端輕輕放上一個(gè)質(zhì)量也為m的滑塊B，物塊與傳送帶的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，物塊B以速度為v₀與A發(fā)生彈性碰撞，物塊脫離軌道飛出后落在軌道或傳送帶上將會(huì)繼續(xù)發(fā)生碰撞，兩滑塊可視為質(zhì)點(diǎn)，求：
（1）傳送帶至少多長(zhǎng)？
（2）要保證被撞后的A滑塊能沿圓弧軌道運(yùn)動(dòng)，圓弧軌道的半徑應(yīng)滿足什么條件？
（3）若A與B能在O點(diǎn)發(fā)生多次碰撞，則當(dāng)A與B發(fā)生第五次碰撞時(shí)，物塊與傳送帶間的摩擦產(chǎn)生的內(nèi)能是多少？

Answer 1

分析 （1）由牛頓第二定律求出物體B的加速度，當(dāng)達(dá)到傳送帶速度時(shí)物體B前進(jìn)的位移即為傳送帶的長(zhǎng)度；
（2）物塊B以速度為v₀與A發(fā)生彈性碰撞，根據(jù)動(dòng)量定理求的物體A的速度，由牛頓第二定律求的到達(dá)最高點(diǎn)的速度，由動(dòng)能定理求的半徑；
（3）求出在每一次碰撞過(guò)程中物體B與傳送帶的相對(duì)位移，由Q=μmgx求得產(chǎn)生的內(nèi)能，即可求得在當(dāng)A與B發(fā)生第五次碰撞時(shí)，物塊與傳送帶間的摩擦產(chǎn)生的內(nèi)能

解答 解：（1）物塊B在傳送帶上加速運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律可知μmg=ma
a=μg
加速到與傳送帶具有相同速度前進(jìn)的位移為x=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2a}=\frac{{v}_{0}^{2}}{2μg}$
（2）根據(jù)動(dòng)量定理，碰撞后A的速度為v₀
物體到達(dá)圓弧最高點(diǎn)具有的速度為
mg=$m\frac{{v}^{2}}{R}$
v=$\sqrt{gR}$
從A到B由動(dòng)能定理可得
-2mgR=$\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}$
解得R=$\frac{{v}_{0}^{2}}{5g}$
半徑最大為$\frac{{v}_{0}^{2}}{5g}$
（3）若A與B能在O點(diǎn)發(fā)生多次碰撞，
物塊B第一次在傳送帶上運(yùn)動(dòng)達(dá)到傳送帶速度所需時(shí)間為t₁=$\frac{{v}_{0}}{μg}$
物塊B前進(jìn)的位移為x₁=$\frac{1}{2}{at}_{1}^{2}$=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2μg}$
傳送帶前進(jìn)的位移為x₂=v₀t₁=$\frac{{v}_{0}^{2}}{μg}$，相對(duì)位移$△{x}_{1}={x}_{2}-{x}_{1}=\frac{{v}_{0}^{2}}{2μg}$
產(chǎn)生的內(nèi)能為${Q}_{1}=μmg•△{x}_{1}=\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}$
第一次與A發(fā)生碰撞后A沿向上運(yùn)動(dòng)后再沿圓弧下滑，與B發(fā)生第二次碰撞，物體B在傳送帶上做減速運(yùn)動(dòng)，減速運(yùn)動(dòng)到零物體B與傳送帶的相對(duì)位移為
$△{x}_{2}={x}_{2}+{x}_{1}=\frac{3{v}_{0}^{2}}{2μg}$
產(chǎn)生的內(nèi)能為${Q}_{2}=μmg•△{x}_{2}=\frac{3}{2}{mv}_{0}^{2}$
依此類推當(dāng)?shù)谖宕伟l(fā)生碰撞時(shí)產(chǎn)生的總內(nèi)能為$Q=3{Q}_{1}+2{Q}_{2}=\frac{9}{2}{mv}_{0}^{2}$

答：（1）傳送帶至少為$\frac{{v}_{0}^{2}}{2μg}$
（2）要保證被撞后的A滑塊能沿圓弧軌道運(yùn)動(dòng)，圓弧軌道的半徑最大為$\frac{{v}_{0}^{2}}{5g}$
（3）塊與傳送帶間的摩擦產(chǎn)生的內(nèi)能是$\frac{9}{2}{mv}_{0}^{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了勻加速度直線運(yùn)動(dòng)與動(dòng)能定理，抓住運(yùn)動(dòng)過(guò)程是關(guān)鍵；