Question

8．如圖甲所示，在xoy平面第一象限內(nèi)有一與y軸正向成α=60°角的直線l，在y軸與直線l之間有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．一質(zhì)量為m、電量為-q、不計(jì)重力的負(fù)電粒子，從y軸上坐標(biāo)為（0，d）的P點(diǎn)以一定速度沿x軸正方向射入磁場(chǎng)中．求解下列問(wèn)題

（1）若磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小恒為B₀，粒子恰好能垂直于直線l離開(kāi)磁場(chǎng)，求粒子的入射速度大�。�
（2）在上述情況下，粒子從進(jìn)入磁場(chǎng)至到達(dá)x軸所用時(shí)間為多少？
（3）若保持磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小仍為B₀，但方向隨時(shí)間周期性變化，垂直于紙面向里的方向?yàn)檎�，變化�?guī)律如圖乙所示，磁場(chǎng)的變化周期為T=$\frac{4πm}{3q{B}_{0}}$．該帶電粒子t=0時(shí)刻以一定速度沿x軸正方向從P點(diǎn)射入磁場(chǎng)中，粒子也恰好能垂直于直線l離開(kāi)磁場(chǎng)，求粒子的入射速度大�。�

Answer 1

分析 （1）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由幾何關(guān)系求出軌跡半徑，由牛頓第二定律求粒子的入射速度．
（2）粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間可根據(jù)軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角，離開(kāi)磁場(chǎng)后粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求時(shí)間．
（3）畫出半個(gè)周期內(nèi)粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡．根據(jù)幾何知識(shí)和圓周運(yùn)動(dòng)的周期性列式求解．

解答 解：（1）由幾何知識(shí)可知，粒子圓周運(yùn)動(dòng)的半徑 R=d
根據(jù)qv₀B₀=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$得 v₀=$\frac{{B}_{0}qR}{m}$=$\frac{{B}_{0}qd}{m}$
（2）粒子磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間 t₁=$\frac{1}{3}{T}_{0}$=$\frac{1}{6}×$$\frac{2πm}{q{B}_{0}}$=$\frac{πm}{3q{B}_{0}}$
粒子離開(kāi)磁場(chǎng)勻速運(yùn)動(dòng)到x軸的時(shí)間 t₂=$\frac{dtan30°}{{v}_{0}}$=$\frac{\sqrt{3}πm}{3q{B}_{0}}$
故粒子從進(jìn)入磁場(chǎng)至到達(dá)x軸所用時(shí)間為 t=t₁+t₂=$\frac{（π+\sqrt{3}）m}{3q{B}_{0}}$
（3）在磁場(chǎng)的半個(gè)周期里，粒子的軌跡如圖

因t=$\frac{1}{2}T$=$\frac{1}{3}{T}_{0}$，T₀=$\frac{2πm}{q{B}_{0}}$，φ=$\frac{2π}{3}$，則θ=$\frac{π}{3}$

x₀=rsinθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r、y₀=r+rcosθ=$\frac{3}{2}$r
①粒子恰好能垂直于直線l離開(kāi)磁場(chǎng)，滿足：
  d=2ky₀+r+2kx₀cotα
解得：r=$\frac6l7rngr{4k+1}$，k=0，1，2，…
再由r=$\frac{mv}{q{B}_{0}}$得：v=$\frac{{B}_{0}qd}{（4k+1）m}$
②粒子恰好能垂直于直線l離開(kāi)磁場(chǎng)，也可滿足：
  d=（2k+1）y₀+r+（2k+1）x₀cotα
解得：r=$\fracnhylkje{4k+3}$，k=0，1，2，…
再由r=$\frac{mv}{q{B}_{0}}$得：v=$\frac{{B}_{0}qd}{（4k+3）m}$
綜上所述：v=$\frac{{B}_{0}qd}{（2k+1）m}$，k=0，1，2，…
答：
（1）粒子的入射速度大小為$\frac{{B}_{0}qd}{m}$．
（2）在上述情況下，粒子從進(jìn)入磁場(chǎng)至到達(dá)x軸所用時(shí)間為$\frac{（π+\sqrt{3}）m}{3q{B}_{0}}$．
（3）粒子的入射速度大小為：$\frac{{B}_{0}qd}{（2k+1）m}$，k=0，1，2，…．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵是畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡圖，根據(jù)幾何知識(shí)求出半徑，找到圓心角和周期的關(guān)系．