Question

【題目】在有“科學界奧斯卡”之稱的美國《科學》雜志2003年度世界科技大突破評選中，物理學中的“證明宇宙是由暗物質和暗能量‘主宰’”的觀點名列榜首，成為當今科技突破中的頭號熱點．世界科技的發(fā)展顯示，暗物質、暗能量正成為天體物理學研究的重點．宇宙中的暗物質是不能直接觀測到的東西，存在的依據來自子螺旋轉的星系和星團，這些星系和星團以自身為中心高速旋轉而沒有飛散開去，僅靠自身質量產生的引力是遠不足以把它們集合在一起的，一定存在暗物質，它的吸引力足以把這些旋轉的星系牢牢抓住．根據對某一雙星系統(tǒng)的光學測量確定該雙星系統(tǒng)中每一個星體的質量都是M，兩者相距L（L遠大于星體的直徑），它們正圍繞兩者連線的中點做圓周運動．
（1）若沒有其他物質存在，試推算該雙星系統(tǒng)的運動周期T．
（2）若實驗上觀測到的運動周期為T′，且T′：T=1： （N＞1），為了解釋觀測周期T′和（1）中理論上推算的雙星運動的周期T不同，目前有一種理論認為，在宇宙中可能存在一種用望遠鏡也觀測不到的暗物質．作為一種簡化模型，我們假定在以這兩個星體連線為直徑的球體內均勻分布著這種暗物質，而不考慮其他暗物質的影響，試根據這一模型和上述觀測結果確定該星系間這種暗物質的密度．

Answer 1

【答案】
（1）

解：雙星均繞它們的連線中點做圓周運動，設運動的周期為T，根據萬有引力提供向心力，有：

解得周期為：T=πL

（2）

解：根據觀測結果，星體運動的周期T′＜T，說明雙星系統(tǒng)中受到的向心力大于本身的引力，故它還受到其他指向中心的作用力．由題意知，這一作用力來源于均勻分布的暗物質．均勻分布在球內的暗物質對雙星系統(tǒng)的作用與一個質量等于球內暗物質的總質量M′而位于中點處的質點相同，考慮到暗物質作用后雙星的運動周期即為T′，則有：

，

由題設條件可知：T′：T=1：

聯(lián)立解得：M′= M

設所求暗物質的密度為ρ，有：

ρ π = M

解得：

【解析】（1）雙星系統(tǒng)圍繞兩者連線的中點做圓周運動，相互間萬有引力提供向心力，根據牛頓第二定律求解運動周期T；（2）假定在以這兩個星體連線為直徑的球體內均勻分布著這種暗物質，雙星系統(tǒng)就由相互間的萬有引力的暗物質的引力的合力提供向心力，由牛頓第二定律求出暗物質的質量，再求解其密度．