Question

16．如圖所示，相距為d的兩條水平虛線L_l、L₂之間是方向水平向里的勻強磁場，磁感應強度為B，正方形線圈abcd邊長為L（L＜d），質量為m，電阻為R，將線圈在磁場上方高h處靜止釋放，cd邊剛進入磁場時速度為v₀，cd邊剛離開磁場時速度也為v₀．則線圈穿越磁場的過程中，（從cd邊剛進入磁場起一直到ab邊離開磁場為止）以下說法正確的是（　�。�

• A． 感應電流所做的功為mgd
• B． 感應電流所做的功為2mgd
• C． 線圈的最小速度一定為$\frac{mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$
• D． 線圈的最小速度一定為$\sqrt{2g（h+L-d）}$

Answer 1

分析 線圈在下落分別經(jīng)過圖中的四個位置：初位置到1位置自由落體，2位置到3位置做加速度為g的勻加速運動，所以1位置到2位置必做減速運動，同樣3位置到4位置必做減速運動，運動情況與1位置到2位置完全相同，產生的電能也相同．1位置到3位置用動能定理可計算1位置到2位置克服安培力做功，根據(jù)能的轉化和守恒定律可得1位置到2位置電流做功，也等于3位置到4位置電流做功．綜上所述可求電流做功．初位置到1位置自由落體，2位置到3位置做加速度為g的勻加速運動，使用運動學公式即可求出線圈穿越磁場的最小速度．

解答 解：線圈在下落分別經(jīng)過圖中的四個位置：1位置cd邊剛進入磁場，2位置ab邊進入磁場，3位置cd邊剛出磁場，4位置ab邊剛出磁場，根據(jù)題意1、3位置速度為v₀；2到3位置磁通量不變，無感應電流，線圈只受重力，做加速度為g的勻加速運動；結合1、3位置速度相同，可知1到2減速，2到3勻加速，3到4減速，并且1到2減速與3到4減速所受合力相同，運動情況完全相同．對線圈由1到3位置用動能定理：mgd-W=△E_k=0，W為克服安培力所做的功，根據(jù)能的轉化和守恒定律，這部分能量轉化為電能（電流所做的功），所以線圈由1到3位置電流做功為mgd；線圈由1到3位置過程中只有線圈由1到2位置有電流，所以線圈由1到2位置有電流做功為mgd，線圈由3到4位置與線圈由1到2位置完全相同，所以線圈由3到4位置有電流做功也為mgd．綜上所述，從cd邊剛進入磁場起一直到ab邊離開磁場為止，即1到4位置電流做功為2mgd．A錯誤，B正確．
線圈速度最小時并未受力平衡，不滿足mg=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$，所以C錯誤．
有以上分析可知2和4位置速度最小，初始位置到1位置自由落體v₀=$\sqrt{2gh}$，2到3位置做加速度為g的勻加速運動${v}_{0}^{2}{-v}_{min}^{2}=2g（d-L）$，結合兩式解得${v}_{min}=\sqrt{2g（h+L-d）}$；D正確．
故選：BD

點評 注意：只有線圈越過磁場邊界時才有電流，產生電能；2到3位置磁通量不變，無感應電流，線圈只受重力，做加速度為g的勻加速運動．