Question

12．據(jù)每日郵報(bào)2014年4月18日?qǐng)?bào)道，美國(guó)國(guó)家航空航天局（NASA）目前宣布首次在太陽(yáng)系外發(fā)現(xiàn)“類地”行星Kepler-186f．假如宇航員乘坐宇宙飛船到達(dá)該行星，進(jìn)行科學(xué)觀測(cè)：該行星自轉(zhuǎn)周期為T；宇航員在該行星“北極”距該行星地面附近h處自由釋放-個(gè)小球（引力視為恒力），落地時(shí)間為t₁；宇航員在該行星“赤道”距該行星地面附近h處自由釋放-個(gè)小球（引力視為恒力），落地時(shí)間為t₂．則行星的半徑R的值（　�。�

• A． R=$\frac{（{{t}_{2}}^{2}+{{t}_{1}}^{2}）h{T}^{2}}{4{π}^{2}{{t}_{1}}^{2}{{t}_{2}}^{2}}$
• B． R=$\frac{（{{t}_{2}}^{2}+{{t}_{1}}^{2}）h{T}^{2}}{2{π}^{2}{{t}_{1}}^{2}{{t}_{2}}^{2}}$
• C． R=$\frac{（{{t}_{2}}^{2}-{{t}_{1}}^{2}）h{T}^{2}}{2{π}^{2}{{t}_{1}}^{2}{{t}_{2}}^{2}}$
• D． R=$\frac{（{{t}_{2}}^{2}-{{t}_{1}}^{2}）h{T}^{2}}{4{π}^{2}{{t}_{1}}^{2}{{t}_{2}}^{2}}$

Answer 1

分析 根據(jù)自由落體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出該行星地面附近的重力加速度；
在該行星“赤道”處物體做圓周運(yùn)動(dòng)需要的向心力等于萬(wàn)有引力與該位置重力之差列出等式求解；

解答 解：宇航員在該行星“北極”距該行星地面附近h處自由釋放-個(gè)小球（引力視為恒力），落地時(shí)間為t₁；
h=$\frac{1}{2}$g${t}_{1}^{2}$
g=$\frac{2h}{{t}_{1}^{2}}$
宇航員在該行星“赤道”距該行星地面附近h處自由釋放-個(gè)小球（引力視為恒力），落地時(shí)間為t₂．
h=$\frac{1}{2}$g′${t}_{2}^{2}$
g′=$\frac{2h}{{t}_{2}^{2}}$
在該行星“赤道”處物體做圓周運(yùn)動(dòng)需要的向心力等于萬(wàn)有引力與該位置重力之差列出等式
m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$R=mg-mg′
解得：R=$\frac{（{{t}_{2}}^{2}-{{t}_{1}}^{2}）h{T}^{2}}{2{π}^{2}{{t}_{1}}^{2}{{t}_{2}}^{2}}$
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是通過(guò)自由落體運(yùn)動(dòng)求出星球表面的重力加速度，再根據(jù)萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力和萬(wàn)有引力等于重力求解．