Question

17．如圖所示，位于豎直平面內(nèi)的軌道，由一段斜的直軌道AB和光滑半圓形軌道BC平滑連接而成，AB的傾角為30°，半圓形軌道的半徑．R=0.1m，直徑BC豎直．質(zhì)量m=1kg的小物塊從斜軌道上距半圓形軌道底部高為h處由靜止開始下滑，經(jīng)B點滑上半圓形軌道．己知物塊與斜軌道間的動摩擦因數(shù)為$\frac{\sqrt{3}}{6}$，g取g=10m/s²．
（1）若h=1m，求物塊運動到圓軌道最低點B時對軌道的壓力；
（2）若物塊能到達圓軌道的最高點C，求h的最小值；
（3）試求物塊經(jīng)最高點C時對軌道壓力F隨高度h的變化關(guān)系，并在圖示坐標系中作出F-h圖象．

Answer 1

分析 （1）對于物塊在斜面下滑的過程，由機動能定理即可求得物體通過B點時的速度，物塊經(jīng)過B點時，由軌道的支持力和重力的合力充當向心力，由牛頓運動定律求物塊對軌道的壓力；
（2）物塊恰好通過圓軌道的最高點C時由重力提供向心力，此時h最�。�由牛頓第二定律求出C點的最小速度，再由動能定理求解h的最小值．
（3）根據(jù)動能定理和向心力公式結(jié)合得到F與h的表達式，再畫出F-h圖象．

解答 解：（1）設物塊運動圓軌道最低點B時速度大小為v，所受的支持力為N．
根據(jù)動能定理有：mgh-μmgcos30°•$\frac{h}{sin30°}$=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-0
在B點，根據(jù)牛頓第二定律有：N-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
代入數(shù)據(jù)，解得 N=110N
根據(jù)牛頓第三定律知，物塊對軌道的壓力大小為110N，方向豎直向下．
（2）設物塊恰好能到達圓軌道的最高點C，此時對應的高度為h_min，C點的速度為v₀．
根據(jù)動能定理有：mgh_min-μmgcos30°•$\frac{{h}_{min}}{sin30°}$-2mgR=-0
經(jīng)最高點C時，根據(jù)向心力公式有：mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
代入數(shù)據(jù)，解得 h_min=0.5m
（3）設物塊到達圓軌道最高點時的速度為v，軌道對物塊的彈力大小為F_N．
根據(jù)動能定理有：mgh-μmgcos30°•$\frac{h}{sin30°}$-2mgR=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-0
經(jīng)最高點C，根據(jù)向心力公式有：F_N+mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得 F_N=100h-50（N）（h≥0.5m）
則壓力 F=F_N=100h-50（N）（h≥0.5m），作出F-h圖象如圖．
答：
（1）物塊運動到圓軌道最低點B時對軌道的壓力是110N；
（2）若物塊能到達圓軌道的最高點C，h的最小值是0.5m；
（3）作出F-h圖象如圖．

點評 本題是牛頓運動定律與動能定理的綜合應用，解決本題的關(guān)鍵分析物體的受力情況，確定圓周運動的向心力，運用函數(shù)法得出壓力F與h的關(guān)系式．