Question

9．開普勒第三定律指出：所有行星的軌道的半長軸的三次方跟它的公轉周期的二次方的比值都相等．該定律對一切具有中心天體的引力系統(tǒng)都成立．如圖，嫦娥三號探月衛(wèi)星在半徑為r的圓形軌道I上繞月球運行，周期為T．月球的半徑為R，引力常量為G．某時刻嫦娥三號衛(wèi)星在4點變軌進入橢圓軌道II，在月球表面的B點著陸．A、O、B三點在一條直線上．
求：（1）月球的密度；
（2）在II軌道上運行的時間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬有引力提供向心力，結合衛(wèi)星的軌道半徑和周期求出月球的質量，根據(jù)月球的體積求出月球的密度．
（2）根據(jù)幾何關系求出橢圓軌道的半長軸，結合開普勒第三定律求出在II軌道上運行的時間．

解答 解：（1）由萬有引力充當向心力：$\frac{GMm}{r^2}=m{（\frac{2π}{T}）^2}r$，
解得$M=\frac{{4{π^2}{r^3}}}{{G{T^2}}}$
月球的密度：$ρ=\frac{M}{{\frac{4}{3}π{R^3}}}$，解得$ρ=\frac{{3π{r^3}}}{{G{T^2}{R^3}}}$．
（2）橢圓軌道的半長軸：$a=\frac{R+r}{2}$，
設橢圓軌道上運行周期為T₁，由開普勒第三定律有：$\frac{a^3}{T_1^2}=\frac{r^3}{T^2}$，
在Ⅱ軌道上運行的時間為t：$t=\frac{T_1}{2}$，
解得$t=\frac{（R+r）T}{4r}\sqrt{\frac{（R+r）}{2r}}$．
答：（1）月球的密度為$\frac{3π{r}^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$；
（2）在II軌道上運行的時間為$\frac{（R+r）T}{4r}\sqrt{\frac{（R+r）}{2r}}$．

點評 本題考查了萬有引力定律和開普勒第三定律的綜合運用，知道在Ⅱ軌道上運行的時間等于橢圓軌道運動周期的一半，結合開普勒第三定律進行求解．