Question

4．某人在靜水中劃船速度v₁=3m/s，他在水速v₂=1.5m/s的河中勻速劃行，假設河寬為50m．
（1）若此船要以最短時間過河，船頭應指向何方？最短時間t₁為多少？到達對岸時偏離正對岸的目標有多遠？
（2）若此船要以最小位移過河，船頭應指向何方？過河時間t₂為多少？

Answer 1

分析 （1）小船參與兩個分運動，沿著船頭方向的分運動和隨著水流方向的分運動，當船頭與河岸垂直時渡河時間最短；
（2）當船實際的軌跡垂直于河岸時，位移最短，先根據(jù)平行四邊形定則求解出合速度，根據(jù)s=vt求解船渡河的時間．

解答 解：（1）欲使船渡河時間最短，船頭應與河岸垂直，故最短時間為：
t=$\frac4egntlx{{v}_{1}}$=$\frac{50}{3}$s
到達對岸時偏離正對岸的目標的距離：l=${v}_{1}t=1.5×\frac{50}{3}=25$m
（2）當船實際的軌跡垂直于河岸時，位移最短，船頭的方向偏向上游；
設此時船頭與河岸之間的夾角為θ，則：v₂=v₁cosθ
代入數(shù)據(jù)得：θ=60°
船的合速度為：
v=$\sqrt{{v}_{1}^{2}-{v}_{2}^{2}}=\sqrt{{3}^{2}-1．{5}^{2}}$=$1.5\sqrt{3}$m/s
渡河的時間：t′=$\fracpmdvwyf{v}=\frac{50}{1.5\sqrt{3}}=\frac{100\sqrt{3}}{9}$s
答：（1）他船頭應與河岸垂直可以在最短時間內(nèi)到達對岸，最短時間是$\frac{50}{3}$s，到達對岸時偏離正對岸的目標25m遠．
（2）若要使船沿軌跡最短過河，應船頭的方向偏向上游，與河岸之間的夾角是60°劃行，對應的渡河時間是$\frac{100\sqrt{3}}{9}$s．

點評 對于小船渡河問題，關(guān)鍵是找到合運動與分運動，本題關(guān)鍵是知道當船頭與河岸垂直時渡河時間最短，基礎(chǔ)題目．