Question

如圖所示，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=2.0×10^-3T的磁場(chǎng)分布在xOy平面上的MON三角形區(qū)域，其中M、N點(diǎn)距坐標(biāo)原點(diǎn)O均為1.0m，磁場(chǎng)方向垂直紙面向里．坐標(biāo)原點(diǎn)O處有一個(gè)粒子源，不斷地向xOy平面發(fā)射比荷為

q

m

=5×10⁷C/kg的帶正電粒子，它們的速度大小都是v=5×10⁴m/s，與x軸正方向的夾角分布在0～90°范圍內(nèi)．
（1）求平行于x軸射入的粒子，出射點(diǎn)的位置及在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間；
（2）若從O點(diǎn)入射的與x軸正方向成θ角的粒子恰好不能從MN邊射出，試畫(huà)出此粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡；
（3）求能從直線MN射出的粒子，從粒子源O發(fā)射時(shí)的速度與x軸正向夾角范圍．
（可供參考幾個(gè)三角函數(shù)值sin41°=0.656，sin38°=0.616）．

Answer 1

分析：帶電粒子在磁場(chǎng)中受到洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力始終與速度相垂直，因此洛倫茲力不做功，所以動(dòng)能不變，速度也不變．帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，由左手定則可判定洛倫茲力方向．從而可根據(jù)運(yùn)動(dòng)軌跡來(lái)確定洛倫茲力的方向，最終能得出磁感應(yīng)強(qiáng)度大小與方向．
當(dāng)平行于x軸射入的粒子時(shí)，運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)應(yīng)的圓心正好落在y軸上，當(dāng)已知條件算出圓弧對(duì)應(yīng)的半徑，可得運(yùn)動(dòng)軌跡恰好是圓的四分之一．從而確定出射點(diǎn)的位置與運(yùn)動(dòng)時(shí)間．
從O點(diǎn)入射的與x軸正方向成θ角的粒子恰好不能從MN邊射出，則運(yùn)動(dòng)軌跡與MN直線相切，從而可確定圓弧的圓心，算出半徑并畫(huà)出圓�。�
由題意可知，能從直線MN射出的粒子就在前兩個(gè)問(wèn)題之間入射，就能射出．運(yùn)用物理規(guī)律與數(shù)學(xué)知識(shí)從而求出發(fā)射時(shí)的速度與x軸正向夾角范圍．

解答：解：（1）粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力提供向心力有：qvB=m

v2

R

解得：R=

mv

qB

代入數(shù)據(jù)有：R=0.5m
作平行于x軸射入粒子的軌跡，由磁場(chǎng)的形狀可知，粒子剛好在磁場(chǎng)中做了

1

4

圓弧，從MN中點(diǎn)P射出磁場(chǎng)，出射點(diǎn)的坐標(biāo)P（0.5，0.5），
如圖所示．
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)周期T=

2πR

v

從P射出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間：
t=

T

4

=

πR

2v

=

3.14×0.5

2×5×104

=1.57×10^-5s．
（2）當(dāng)粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡恰好與MN直線相切時(shí)，粒子恰好不能從MN邊射出，粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如答圖1所示．其中與MN相切于Q點(diǎn)．
（3）Q點(diǎn)的x坐標(biāo)：x=Rcos45°-Rsinθ
y坐標(biāo)：y=Rsin45°+Rcosθ
又Q點(diǎn)在MN直線上，有y=1-x
代入數(shù)據(jù)，解得：cosθ-sinθ=2-

2

又cos²θ+sin²θ=1
聯(lián)立得：sin2θ=4

2

-5=0.656，
解得：θ=20.5°
所以從MN射出粒子初速方向與x軸正向夾角范圍為：[0，20.5°）

點(diǎn)評(píng)：帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，處理時(shí)注意：定圓心、畫(huà)軌跡、求半徑．