Question

12．如圖所示，半徑為R的均質(zhì)球質(zhì)量為M，球心在O點(diǎn)，現(xiàn)在被內(nèi)切的挖去了一個(gè)半徑為$\frac{R}{2}$的球形空腔（球心在O′）．在O、O′的連線上距離O點(diǎn)為d的地方放有一個(gè)很小的、質(zhì)量為m的物體，試求這兩個(gè)物體之間的萬(wàn)有引力．

Answer 1

分析 應(yīng)用“填補(bǔ)法”先將空腔填滿，然后應(yīng)用萬(wàn)有引力定律分別求出m受到的萬(wàn)有引力，最后求和即可．

解答 解：
空腔里現(xiàn)在雖然空無(wú)一物，但可以看成是兩個(gè)半徑為$\frac{1}{2}$R的球的疊加：一個(gè)的質(zhì)量為+$\frac{1}{8}$M，一個(gè)的質(zhì)量為-$\frac{1}{8}$M．然后，前者正好填補(bǔ)空腔--和被挖除后剩下的部分構(gòu)成一個(gè)完整的均質(zhì)球A；注意后者，雖然是一個(gè)比較特殊的物體（質(zhì)量為負(fù)值），但仍然是一個(gè)均質(zhì)的球體，命名為B．
既然A、B兩物均為均質(zhì)球體，他們各自和右邊小物體之間的萬(wàn)有引力，就可以使用“拓展條件”中的定勢(shì)來(lái)計(jì)算了．只是有一點(diǎn)需要說(shuō)明，B物的質(zhì)量既然負(fù)值，它和m之間的萬(wàn)有“引力”在方向上不再表現(xiàn)為吸引，而應(yīng)為排斥--成了“萬(wàn)有斥力”了．具體過(guò)程如下F_Am=G$\frac{Mm}{d^2}$F_Bm=G$\frac{{-\frac{M}{8}•m}}{{{{（{d-\frac{R}{2}}）}^2}}}$=-G$\frac{Mm}{{8{{（d-\frac{R}{2}）}^2}}}$
最后，兩物之間的萬(wàn)有引力 F=F_Am+F_Bm=G$\frac{Mm}{d^2}$-G$\frac{Mm}{{8{{（d-\frac{R}{2}）}^2}}}$
答：這兩個(gè)物體之間的萬(wàn)有引力是G$\frac{Mm}{d^2}$-G$\frac{Mm}{{8{{（d-\frac{R}{2}）}^2}}}$．

點(diǎn)評(píng) 需要指出的是，在一部分同學(xué)的心目中，可能還會(huì)存在另一種解題思路，那就是先通過(guò)力矩平衡求被挖除物體的重心（仍然要用到“填補(bǔ)法”、負(fù)質(zhì)量物體的重力反向等），它將在O、O′的連線上距離O點(diǎn)左側(cè)$\frac{1}{14}$R處，然后“一步到位”地求被挖除物與m的萬(wàn)有引力F=G$\frac{{\frac{M}{7}•m}}{{{{（d+\frac{R}{14}）}^2}}}$然而，這種求法違背了萬(wàn)有引力定律適用的條件，是一種錯(cuò)誤的思路．