Question

19．傾角為30°的足夠長光滑斜面下端與一足夠長光滑水平面相接，連接處用一光滑小圓弧過渡，斜面上距水平面高度分別為h₁=5m和h₂=0.2m的兩點上，各固定一小球A和B．某時刻由靜止開始釋放A球，經(jīng)過一段時間t后，同樣由靜止開始釋放B球．g取10m/s²，則：
（1）為了保證A、B兩球不會在斜面上相碰，t最長不能超過多少？
（2）在滿足（1）的情況下，為了保證兩球在水平面上的碰撞次數(shù)不少于兩次，兩球的質(zhì)量m_A和m_B應(yīng)滿足什么條件？（假設(shè)兩球的碰撞過程沒有能量損失）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律求出小球在斜面上下滑的加速度，根據(jù)位移時間公式分別求出兩球在斜面上的運動時間，從而得出t的最大時間．
（2）兩球碰撞過程系統(tǒng)動量守恒、機械能守恒，應(yīng)用動量守恒定律與機械能守恒定律列方程，然后求出兩球間的質(zhì)量關(guān)系．

解答 解：（1）設(shè)兩球在斜面上下滑的加速度為a，
根據(jù)牛頓第二定律得：mgsin30°=ma，
設(shè)A?B兩球下滑到斜面底端所用時間分別為t₁和t₂，則：
$\frac{{h}_{1}}{sin30°}$=$\frac{1}{2}$at₁²，$\frac{{h}_{2}}{sin30°}$=$\frac{1}{2}$at₂²，t=t₁-t₂，
代入數(shù)據(jù)解得：t=1.6s．
（2）設(shè)A?B兩球下滑到斜面底端時速度分別為v₁和v₂，
第一次相碰后速度分別為v_A和v_B，則根據(jù)機械能守恒得：
$\frac{1}{2}$m_Av₁²=m_Agh₁ ①
$\frac{1}{2}$m_Bv₂²=m_Bgh₂ ②
以向右為正方向，由動量守恒定律得：m_Av₁+m_Bv₂=m_Av_A+m_Bv_B ③
由能量守恒定律的：$\frac{1}{2}$m_Av₁²+$\frac{1}{2}$m_Bv₂²=$\frac{1}{2}$m_Av_A²+$\frac{1}{2}$m_Bv_B²  ④
為使兩球能發(fā)生第二次碰撞，應(yīng)滿足：v_A＜0且|v_A|＞v_B ⑤
由①②③④⑤代入數(shù)據(jù)后可得：$\frac{{m}_{A}}{{m}_{B}}$＜$\frac{1}{7}$．
答：（1）為了保證A、B兩球不會在斜面上相碰，t最長不能超過1.6s．
（2）在滿足（1）的情況下，為了保證兩球在水平面上的碰撞次數(shù)不少于兩次，兩球的質(zhì)量m_A和m_B應(yīng)滿足的條件是$\frac{{m}_{A}}{{m}_{B}}$＜$\frac{1}{7}$．

點評 本題考查了求運動時間、兩球質(zhì)量關(guān)系，分析清楚兩球的運動過程是正確解題的前提，應(yīng)用牛頓第二定律和運動學(xué)公式、動量守恒定律與機械能守恒定律即可正確解題；知道加速度是聯(lián)系力學(xué)和運動學(xué)的橋梁，在求解追及問題時，抓住位移關(guān)系，結(jié)合運動學(xué)公式分析求解．