Question

11．圓周運(yùn)動(dòng)的周期性問題如圖所示，光滑的水平桌面上釘有兩枚鐵釘AB，相距l(xiāng)₀=0.12m，長(zhǎng)l=1m的柔繩細(xì)線一端拴在A上，另一端拴住一個(gè)質(zhì)量是500g的小球，小球的初始位置在AB連線上A的一側(cè)，把細(xì)線拉緊，給小球2m/s的垂直細(xì)線方向的水平速度使它做圓周運(yùn)動(dòng)，由于釘子B的存在，線慢慢地纏在A、B上．若細(xì)線能承受的最大張力是F_m=6.5N，求：
（1）當(dāng)繩子第一次碰觸鐵釘B前后瞬間，繩子拉力大小的比值；
（2）小球經(jīng)過幾個(gè)半圓運(yùn)動(dòng)后繩子會(huì)被拉斷；
（3）小球從初始位置到繩子拉斷經(jīng)歷的總時(shí)間？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律得出繩子第一次碰觸鐵釘B前后瞬間拉力的表達(dá)式，從而得出拉力大小之比．
（2）根據(jù)最大拉力，結(jié)合牛頓第二定律求出繩子斷開時(shí)做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，從而結(jié)合繩子的原長(zhǎng)求出經(jīng)過幾個(gè)半圓運(yùn)動(dòng)后繩子會(huì)被拉斷．
（3）根據(jù)弧長(zhǎng)和線速度求出每個(gè)半周的時(shí)間，結(jié)合半圓運(yùn)動(dòng)的次數(shù)求出運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間．

解答 解：（1）碰觸鐵釘B前瞬間繞A做圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律有：${F}_{1}=m\frac{{v}^{2}}{l}$，
碰觸鐵釘B后瞬間繞B做圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律有：${F}_{2}=m\frac{{v}^{2}}{l-{l}_{0}}$，
解得$\frac{{F}_{1}}{{F}_{2}}=\frac{l-{l}_{0}}{l}=\frac{1-0.12}{1}=0.88$．
（2）當(dāng)繩子被拉斷時(shí)，有：${F}_{m}=m\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得r=$\frac{m{v}^{2}}{{F}_{m}}=\frac{0.5×4}{6.5}m≈0.31m$，
n=$\frac{l-r}{{l}_{0}}=\frac{1-0.31}{0.12}=5.75$，可知經(jīng)過6個(gè)半圓運(yùn)動(dòng)后繩子會(huì)被拉斷．
（3）在第一個(gè)半周期內(nèi)：${t}_{1}=\frac{πl(wèi)}{v}$，
在第二個(gè)半周期內(nèi)：${t}_{2}=\frac{π（l-{l}_{0}）}{v}$，
在第三個(gè)半周期內(nèi)：${t}_{3}=\frac{π（l-2{l}_{0}）}{v}$，
…
則小球從初始位置到繩子拉斷經(jīng)歷的總時(shí)間t=t₁+t₂+t₃+…+t₆=$\frac{π（6l-15{l}_{0}）}{v}$=$\frac{3.14×（6-15×0.12）}{2}$s=6.594s．
答：（1）當(dāng)繩子第一次碰觸鐵釘B前后瞬間，繩子拉力大小的比值為0.88；
（2）小球經(jīng)過6個(gè)半圓運(yùn)動(dòng)后繩子會(huì)被拉斷；
（3）小球從初始位置到繩子拉斷經(jīng)歷的總時(shí)間為6.594s．

點(diǎn)評(píng) 本題是物理數(shù)列類型，結(jié)合圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來源，通過數(shù)學(xué)知識(shí)求出拉力和時(shí)間的通項(xiàng)表達(dá)式是解決本題的關(guān)鍵．