Question

8．如圖所示，一勁度系數(shù)k未知的輕彈簧下端固定于水平地面，上端與不可伸長(zhǎng)的輕繩連接，輕繩跨過(guò)定滑輪的另一端懸掛一個(gè)質(zhì)量為m的重物，用手托住重物，使得兩邊輕繩和彈簧都處于豎直狀態(tài)，輕繩恰能拉直且彈簧處于原長(zhǎng)，然后無(wú)初速釋放重物，重物可下落的最大距離為l（不計(jì)空氣阻力、定滑輪質(zhì)量及轉(zhuǎn)軸摩擦，重力加速度為g，彈簧的形變?cè)趶椥韵薅葍?nèi)）．則：
（1）重物下落過(guò)程，彈簧的最大彈性勢(shì)能是多少；
（2）將重物放在動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，傾角為θ的固定斜面上，用手按住它，恰能使輕繩拉直，彈簧處于原長(zhǎng)，如圖所示，若要使重物下滑距離l，給重物沿斜面向下的初速度至少要多大；
（3）在滿足（2）的條件下，重物在斜面上運(yùn)動(dòng)過(guò)程速度最大時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能E_x是多少？（彈簧的彈性勢(shì)能表達(dá)式E=$\frac{1}{2}$kx²，k表示彈簧的勁度系數(shù)，x表示形變量）

Answer 1

分析 （1）重物與彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律可以求出最大彈性勢(shì)能．
（2）由能量守恒定律可以求出初速度．
（3）根據(jù)動(dòng)摩擦因數(shù)大小與斜面傾角的關(guān)系，應(yīng)用平衡條件、彈性勢(shì)能表達(dá)式求出彈性勢(shì)能．

解答 解：（1）重物下落l過(guò)程它與彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，
由機(jī)械能守恒定律得，彈簧的最大彈性勢(shì)能：E_Pmax=mgl；
（2）由（1）可知，重物在斜面上下滑l距離時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能最大，
最大彈性勢(shì)能：E_Pmax′=E_Pmax=mgl，
由能量守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv₀²+mglsinθ=μmglcosθ+E_Pmax′，
解得：v₀=$\sqrt{2gl（1+μcosθ-sinθ）}$；
（3）若μ≥tanθ，則重物在斜面上獲得的初速度v₀是其最大速度，所求彈性勢(shì)能為零；
若μ＜tanθ，在（2）的情況下，重物可能在斜面上做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)?shù)谝淮蔚竭_(dá)平衡位置時(shí)，
摩擦損失的能量最少，速度最大，設(shè)此時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量為x，彈簧的勁度系數(shù)為k，繩子拉力為T，
有：T=kx，mgsinθ=T+μmgcosθ，
在（1）的情況下，彈簧在原長(zhǎng)與最大伸長(zhǎng)量之間振動(dòng)，由對(duì)稱性可知，
其平衡位置在伸長(zhǎng)量為$\frac{1}{2}$l處，有：mg=$\frac{1}{2}$kl，
由題意可知，所求彈性勢(shì)能：E_x=$\frac{1}{2}$kx²，解得：E_x=$\frac{1}{4}$mgl（sinθ-μcosθ）²；
答：（1）重物下落過(guò)程，彈簧的最大彈性勢(shì)能是mgl；
（2）給重物沿斜面向下的初速度至少為$\sqrt{2gl（1+μcosθ-sinθ）}$；
（3）若μ≥tanθ，彈簧的彈性勢(shì)能E_x是0；若μ＜tanθ，彈簧的彈性勢(shì)能E_x是$\frac{1}{4}$mgl（sinθ-μcosθ）²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求彈性勢(shì)能、初速度問(wèn)題，分析清楚物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程，應(yīng)用機(jī)械能守恒定律、平衡條件、能量守恒定律即可正確解題．