Question

14．一位同學(xué)學(xué)完萬有引力定律及應(yīng)用后，為宇航員設(shè)計(jì)了如下實(shí)驗(yàn)：在距月球表面高h(yuǎn)處自由釋放一物體，測出該物體從釋放到落地的時(shí)間為t，通過查閱資料知道月球的半徑為R，引力常量為G，若物體只受月球引力的作用，求：
（1）月球表面的重力加速度g′；
（2）月球的質(zhì)量M；
（3）飛船靠近月球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期T．

Answer 1

分析 （1）平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在豎直方向上做自由落體運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的知識求出月球表面的重力加速度．
（2）根據(jù)萬有引力等于重力求出月球的質(zhì)量．
（3）以宇宙飛船將貼著月球的表面運(yùn)行，由重力充當(dāng)向心，可求周期．

解答 解：（1）由自由落體規(guī)律得：h=$\frac{1}{2}$g′t²，解得：g′=$\frac{2h}{{t}^{2}}$．
（2）由月球表面物體的重力等于萬有引力得：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg′，解得：M=$\frac{{g}^{′}{R}^{2}}{G}$，
代入重力加速度解得：M=$\frac{2h{R}^{2}}{G{t}^{2}}$．
（3）由重力充當(dāng)向心力：mg=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$R，
解得：T=2π$\sqrt{\frac{R}{g}}$．
代入重力加速度得：T=πt$\sqrt{\frac{2R}{h}}$．
答：（1）月球表面的重力加速度$\frac{2h}{{t}^{2}}$；
（2）月球的質(zhì)量為$\frac{2h{R}^{2}}{G{t}^{2}}$；
（3）飛船靠近月球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為πt$\sqrt{\frac{2R}{h}}$．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵掌握天體運(yùn)動(dòng)中萬有引力等于重力，以及萬有引力提供做衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力．g是地球表面物體宏觀運(yùn)動(dòng)和天體運(yùn)動(dòng)的橋梁．
注意飛船將貼著月球的表面運(yùn)行，意味著軌道半徑等于月球的半徑．