Question

8．如圖甲所示放射源s中的粒子不斷飄入（初速度為零）兩平行的金屬板a、b間，經(jīng)ab間電場(chǎng)加速后從O點(diǎn)垂直于邊界進(jìn)入b板右側(cè)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中．已知粒子質(zhì)量為m，帶電量為q（q＞0），ab兩板間的距離為d，它們之間電壓如圖乙所示變化，電壓最大值為U₀，周期為T(mén)=2d$\sqrt{\frac{2m}{q{U}_{0}}}$勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向垂直紙面向里的，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=$\frac{1}{a}$$\sqrt{\frac{2m{U}_{0}}{q}}$；不考慮電荷之間庫(kù)侖力的作用和重力作用．求：

（1）t=0時(shí)刻進(jìn)入加速電場(chǎng)的粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的速度大�。�
（2）t=0時(shí)刻進(jìn)入加速電場(chǎng)的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌道半徑r和運(yùn)動(dòng)時(shí)間t
（3）畫(huà)出所有粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的區(qū)域（用陰影線表示），并求出該區(qū)域面積大小．

Answer 1

分析 （1）粒子進(jìn)入電場(chǎng)后做加速運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解速度大小
（2）進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力充當(dāng)向心力得半徑，根據(jù)周期公式求時(shí)間
（3）進(jìn)入磁場(chǎng)的最小速度對(duì)應(yīng)粒子勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)，則加速時(shí)間最短，速度最小，畫(huà)出粒子運(yùn)動(dòng)圖象由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解面積．

解答 解：（1）粒子進(jìn)入電場(chǎng)后做加速運(yùn)動(dòng)，時(shí)間為t，加速度為a，O點(diǎn)速度為V₁
由牛頓第二定律知：a=$\frac{qE}{m}=\frac{q{U}_{0}}{md}$
根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式：d=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$，t=$\sqrt{\frac{2d}{a}}=\frac{T}{2}$
粒子在0.5T時(shí)刻出電場(chǎng)
所以V₁=at=$\sqrt{\frac{2q{U}_{0}}{m}}$
（2）進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力充當(dāng)向心力得：
${r}_{1}=\frac{m{V}_{1}}{qB}=d$
運(yùn)動(dòng)時(shí)間${t}_{2}=\frac{{T}_{軌}}{2}=\frac{2πm}{qB}$×$\frac{1}{2}$=$πd\sqrt{\frac{m}{2q{U}_{0}}}$
（3）進(jìn)入磁場(chǎng)的最小速度為V₂
粒子勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)，則加速時(shí)間最短，速度最小
所以最長(zhǎng)時(shí)間為0.5T，運(yùn)動(dòng)位移${S}_{2}={V}_{2}×\frac{T}{2}$
在ab間加速運(yùn)動(dòng)位移${S}_{1}=\frac{{V}_{2}^{2}-0}{2a}$
根據(jù)題意得d=S₁-S₂
解得：${V}_{2}=（2-\sqrt{2}）\sqrt{\frac{q{U}_{0}}{m}}$
在磁場(chǎng)中的半徑${r}_{2}=\frac{m{V}_{2}}{qB}=（\sqrt{2}-1）d$
運(yùn)動(dòng)區(qū)域如圖
面積S=$\frac{1}{2}（π{r}_{1}^{2}-π{r}_{2}^{2}）$=$（\sqrt{2}-1）πu4ac4xu^{2}$
答：（1）t=0時(shí)刻進(jìn)入加速電場(chǎng)的粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的速度大小$\sqrt{\frac{2q{U}_{0}}{m}}$；
（2）t=0時(shí)刻進(jìn)入加速電場(chǎng)的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌道半徑d和運(yùn)動(dòng)時(shí)間$πd\sqrt{\frac{m}{2q{U}_{0}}}$
（3）該區(qū)域面積大小$（\sqrt{2}-1）πakd5bav^{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題中粒子先在電場(chǎng)中做加速直線運(yùn)動(dòng)，后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式或動(dòng)能定理可求得末速度及時(shí)間；而在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，確定圓心和半徑為解題的關(guān)鍵